Hur definieras derivatan av en funktion med avseende dess derivata?

Generellt så är inte $df/dQ$ väldefinierat, precis som du är inne på. Variabeln $Q$ är inte är en oberoende variabel utan beror likt $f$ av $x$ och $y$. Om vi vill differentiera med avseende på $Q$ måste vi därför hitta ett sätt att betrakta $f$ som en funktion av $Q$ (och ev. övriga variabler).

För varje fixt $y$, om funktionen $x\mapsto Q(x,y)$ är inverterbar så finns det en invers $x=x(Q,y)$, och då kan vi definiera $\tilde{f}(Q,y) = f(x(Q,y),y)$. Här är $Q$ och $y$ oberoende variabler, och vi kan definiera $df/dQ$ som $d\tilde{f}/dQ$.

Exempel: Låt $f(x,y) = x^2 + y$. Då är $Q=2x$ och vi får $x=Q/2$, vilket ger $\tilde{f}(Q,y)=Q^2/4 + y$ och $d\tilde{f}/dQ = Q/2$. I princip har vi gjort ett koordinatbyte $(x,y) \mapsto (Q,y)$.

Om istället $f(x,y) = x^3 + y$, då är $Q=3x^2$ inte inverterbar.

Om $S$ beter sig tillräckligt väl så är, för givna $V$ och $N$, funktionen $U\mapsto T(U,V,N)$ inverterbar och vi kan skriva $U=U(T,V,N)$ och få funktionen $\hat{S} = S(U(T,V,N),V,N)$. Efter detta variabelbyte kan vi tolka uttrycket $dS/dT$ som $d\hat{S}/dT$.

Hmm. Ja, okej, det är rimligt.

Jag tänkte också ytterligare på detta och det finns väl ett bra skäl att använda notationen $\partial S/\partial T$ istället för $\partial\hat{S}/\partial T$:

Vi kan ju ställa oss frågan vad som händer med $S$ om $T$ förändras med ett litet inkrement $dT$. Då skulle vi, i linje med den typiska formen för differentialer, kunna skriva

$\displaystyle dS=\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V,N}dT$

Det är ju onekligen så att om $T$ förändras kommer $S$ också ändras, även om $S$ egentligen inte uttryckligen beror av $T$. Faktum är att det kanske till och med är så att $d\hat{S} = dS$?

Om du har dU = T dS - p dV så är S, V naturliga variabler. Byter du till F, Helmholtz fria energi med en Legendre transform i variabeln S så blir T, V naturliga variabler med dF = -S dT - p dV och dF/dT = -S och du kan derivera partiellt en gång till med avseende på T och byta tecken för att få dS/dT. 

Det var länge sen jag läste termodynamik men jag har för mig att föreläsaren kallade det tricket en ”potentialvändning” och jag undrade varför han behövde ett nytt namn för partiell integration (eller derivering av produkt). Men man behöver nog definiera begreppen lite tydligare för att det ska vara sant, alla potentialer och variabler i termodynamiken är funktioner på någon mångfald. 

Om du läst analytisk mekanik har du nog sett liknade vid övergång från lagrangiansk formulering till hamiltonian. Det är också konvex konjugation med Legendre transform har jag för mig. 

Legendre transform tror jag inte nämndes i termodynamikkursen men det är maskineriet bakom

https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_transformation

Konjugerade variabler i termodynamiken är någon  slags generalisering av kraft och förflyttning, som p, V eller T, S. 

Hej!

Jag är bekant med Legendretransformationer och de potentialer (eller Massieufunktioner) man då erhåller. Det var inte riktigt det som min fråga handlade om.

Min fråga handlade mer om huruvida "funktionen" $S=S(U,V,N)$ är samma funktion som $S=S(T,V,N)$. Efter en del diskussion kom jag fram till att svaret förstås är nej. Den fysikaliska storheten är densamma i båda fall (entropin), men det rör sig om olika funktioner för att erhålla denna. I termodynamiken har man dock inte riktigt råd att ständigt införa nya beteckningar, utan man måste vara lite mer ekonomisk i sin notation, vilket orsakade min förvirring.

Avsnittet om konjugerade variabler och det om potentialer på

https://en.wikipedia.org/wiki/Thermodynamics

kan ge lite mer kött på benen. Sorry för många korta svar, sitter på tåg och skriver på mobil råkade tappa bort ett längre svar. 

Jag funderade på om du kunde menat entropiflöde och potentialer, Wikipedia-sidan använder olika beteckningar:

https://en.wikipedia.org/wiki/Free_entropy

Hej,

jag försökte förtydliga vad jag menade med lösningen på frågan i inlägg #7. Jag bara påpekar detta om PA strular på mobilen (ibland dyker nya inlägg inte upp).

Ja, det är helt korrekt som du skriver i #7. Förutom att slippa införa nya beteckningar hela tiden och göra kopplingen till fysikaliska storheten tydligare så använder man beteckningen du skrev i #3 för att göra tydligt vilken S man menar. Parenteser kring partiella derivatan och variabler som subskript. Man brukar säga att de variablerna ”hålls konstanta” vid partiella deriveringen, vilket kan låta som överflödig information eftersom alla andra variabler i en funktion hålls konstanta när deriverar partiellt. Men här betyder det då att man deriverar den S funktionen vars övriga variabler är de som står som subskript. 

Sen är ju de olika S-funktionerna nära relaterade via Legendre-transformen så det är väl också något man vill göra extra tydligt. 

Ett sätt att se på saken är följande: låt säga att vi studerar någon funktion $f$ som definieras enligt någon formel

$\displaystyle y=f\left(x\right)$

Vi kan tänka att $y$ representerar någon fysikalisk storhet.

Anta vidare att vi parametriserar $x$ i termer av en parameter $t$, så att vi definierar en ny funktion

$\displaystyle g\left(t\right) = f\left(x\left(t\right)\right)$

Även om vi nu har en ny funktion (eftersom vi har bytt domän) får vi ju fortfarande ut samma fysikaliska storhet som tidigare, eftersom varje $t$ som går genom $g$ sedan också går genom $f$. Detta motiverar även skrivsättet $\displaystyle y= g\left(t\right)$.

Jag kan ju börja med ett citat från V. I. Arnold:

"Every mathematician knows it is impossible to understand an elementary course in thermodynamics."

Men med det sagt, ett lite mer avancerat sätt att se på det är att det termodynamiska systemets tillståndsrum är en differentierbar mångfald M. Väldigt kort så är varje punkt på mångfalden ett termodynamiskt tillstånd, det finns en topologi och en atlas med kartor (koordinatsystem) som är kompatibla (så att byta från en karta till en annan ger en differentierbar sammansatt funktion så att differentierbarhet inte är beroende på val av karta).

Då har du t ex $S : M \to R$och för att räkna ut en partiell derivata måste du först välja en karta t ex $x :\hspace{0.17em}U \to R^3$ där en karta går från en öppen mängd U i M till R^n. Så beroende på karta kan du derivera $(S \circ x^{-1})(U, V, N)$ eller $(S \circ y^{-1})(T, V, N)$ så det är samma funktion S men olika kartor (eller koordinatsystem).

Den sammansatta funktionern du deriverar är olika, men olikheten är flyttad till val av karta istället för att ingå i namnet på funktionen S.

Hej!

Jag har inte läst mycket topologi eller liknande tidigare. Är det att åberopa differentierbara mångfalder alltså ett sätt att formellt motivera vad det betyder att "byta karta"?

Ja, det är inte så mycket topologi inblandat här, bara att punktmängden för mångfalden också ska ha en uppsättning av vilka delmängder som är öppna. Det behövs för att kartorna går från en sån öppen delmängd av M till en öppen delmängd av R^n.

Men en differentierbar mångfald har också en uppsättning kartor (en atlas) som motsvarar olika koordinatsystem eller parametrisering av delar av mångfalden. Just differentierbar behövs för att det ska gå att göra analys på mångfalden såsom partiell derivering av en funktion definierad på mångfalden.

Om du har R^n så känns det så självklart att använda standard kartesiska koordinater att man kanske inte ens tänker på att man kan ha andra koordinater. Men om det är en enhetssfär $x^2+y^2+z^2 =\hspace{0.17em}1$så är det inte lika självklart längre. Visst sfäriska koordinater, men de har singularitet vid nord och sydpolen, man kan också ha projektiva koordinater (en linje från nordpolen, varje riktning på en linje ger en punkt på sfären förutom nordpolen, så kan man parametrisera riktningen på linjen på olika sätt). För en godtycklig yta är det ännu mindre självklart att det ska finnas en standard-parametrisering (i termodynamiken har man t ex tillståndsekvationer som t ex ideala gaslagen som gör att man väljer ut en delmångfald som sen beskriver systemet man är intresserad av).

Sen finns det ett antal teknikaliteter i definitionen på differentierbar mångfald så att topologin inte är för urartad (Hausdorff, second countable) för att man ska kunna göra en del analys-konstruktioner (partition of unity).