Hur definieras derivatan av en funktion med avseende dess derivata?

Generellt så är inte $df/dQ$ väldefinierat, precis som du är inne på. Variabeln $Q$ är inte är en oberoende variabel utan beror likt $f$ av $x$ och $y$. Om vi vill differentiera med avseende på $Q$ måste vi därför hitta ett sätt att betrakta $f$ som en funktion av $Q$ (och ev. övriga variabler).

För varje fixt $y$, om funktionen $x\mapsto Q(x,y)$ är inverterbar så finns det en invers $x=x(Q,y)$, och då kan vi definiera $\tilde{f}(Q,y) = f(x(Q,y),y)$. Här är $Q$ och $y$ oberoende variabler, och vi kan definiera $df/dQ$ som $d\tilde{f}/dQ$.

Exempel: Låt $f(x,y) = x^2 + y$. Då är $Q=2x$ och vi får $x=Q/2$, vilket ger $\tilde{f}(Q,y)=Q^2/4 + y$ och $d\tilde{f}/dQ = Q/2$. I princip har vi gjort ett koordinatbyte $(x,y) \mapsto (Q,y)$.

Om istället $f(x,y) = x^3 + y$, då är $Q=3x^2$ inte inverterbar.

Om $S$ beter sig tillräckligt väl så är, för givna $V$ och $N$, funktionen $U\mapsto T(U,V,N)$ inverterbar och vi kan skriva $U=U(T,V,N)$ och få funktionen $\hat{S} = S(U(T,V,N),V,N)$. Efter detta variabelbyte kan vi tolka uttrycket $dS/dT$ som $d\hat{S}/dT$.

Hmm. Ja, okej, det är rimligt.

Jag tänkte också ytterligare på detta och det finns väl ett bra skäl att använda notationen $\partial S/\partial T$ istället för $\partial\hat{S}/\partial T$:

Vi kan ju ställa oss frågan vad som händer med $S$ om $T$ förändras med ett litet inkrement $dT$. Då skulle vi, i linje med den typiska formen för differentialer, kunna skriva

$\displaystyle dS=\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V,N}dT$

Det är ju onekligen så att om $T$ förändras kommer $S$ också ändras, även om $S$ egentligen inte uttryckligen beror av $T$. Faktum är att det kanske till och med är så att $d\hat{S} = dS$?

Om du har dU = T dS - p dV så är S, V naturliga variabler. Byter du till F, Helmholtz fria energi med en Legendre transform i variabeln S så blir T, V naturliga variabler med dF = -S dT - p dV och dF/dT = -S och du kan derivera partiellt en gång till med avseende på T och byta tecken för att få dS/dT. 

Det var länge sen jag läste termodynamik men jag har för mig att föreläsaren kallade det tricket en ”potentialvändning” och jag undrade varför han behövde ett nytt namn för partiell integration (eller derivering av produkt). Men man behöver nog definiera begreppen lite tydligare för att det ska vara sant, alla potentialer och variabler i termodynamiken är funktioner på någon mångfald. 

Om du läst analytisk mekanik har du nog sett liknade vid övergång från lagrangiansk formulering till hamiltonian. Det är också konvex konjugation med Legendre transform har jag för mig. 

Legendre transform tror jag inte nämndes i termodynamikkursen men det är maskineriet bakom

https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_transformation

Konjugerade variabler i termodynamiken är någon  slags generalisering av kraft och förflyttning, som p, V eller T, S. 

Hej!

Jag är bekant med Legendretransformationer och de potentialer (eller Massieufunktioner) man då erhåller. Det var inte riktigt det som min fråga handlade om.

Min fråga handlade mer om huruvida "funktionen" $S=S(U,V,N)$ är samma funktion som $S=S(T,V,N)$. Efter en del diskussion kom jag fram till att svaret förstås är nej. Den fysikaliska storheten är densamma i båda fall (entropin), men det rör sig om olika funktioner för att erhålla denna. I termodynamiken har man dock inte riktigt råd att ständigt införa nya beteckningar, utan man måste vara lite mer ekonomisk i sin notation, vilket orsakade min förvirring.

Avsnittet om konjugerade variabler och det om potentialer på

https://en.wikipedia.org/wiki/Thermodynamics

kan ge lite mer kött på benen. Sorry för många korta svar, sitter på tåg och skriver på mobil råkade tappa bort ett längre svar. 

Jag funderade på om du kunde menat entropiflöde och potentialer, Wikipedia-sidan använder olika beteckningar:

https://en.wikipedia.org/wiki/Free_entropy

Hej,

jag försökte förtydliga vad jag menade med lösningen på frågan i inlägg #7. Jag bara påpekar detta om PA strular på mobilen (ibland dyker nya inlägg inte upp).

Ja, det är helt korrekt som du skriver i #7. Förutom att slippa införa nya beteckningar hela tiden och göra kopplingen till fysikaliska storheten tydligare så använder man beteckningen du skrev i #3 för att göra tydligt vilken S man menar. Parenteser kring partiella derivatan och variabler som subskript. Man brukar säga att de variablerna ”hålls konstanta” vid partiella deriveringen, vilket kan låta som överflödig information eftersom alla andra variabler i en funktion hålls konstanta när deriverar partiellt. Men här betyder det då att man deriverar den S funktionen vars övriga variabler är de som står som subskript. 

Sen är ju de olika S-funktionerna nära relaterade via Legendre-transformen så det är väl också något man vill göra extra tydligt. 

Ett sätt att se på saken är följande: låt säga att vi studerar någon funktion $f$ som definieras enligt någon formel

$\displaystyle y=f\left(x\right)$

Vi kan tänka att $y$ representerar någon fysikalisk storhet.

Anta vidare att vi parametriserar $x$ i termer av en parameter $t$, så att vi definierar en ny funktion

$\displaystyle g\left(t\right) = f\left(x\left(t\right)\right)$

Även om vi nu har en ny funktion (eftersom vi har bytt domän) får vi ju fortfarande ut samma fysikaliska storhet som tidigare, eftersom varje $t$ som går genom $g$ sedan också går genom $f$. Detta motiverar även skrivsättet $\displaystyle y= g\left(t\right)$.