Hur definieras derivatan av en funktion med avseende dess derivata?

Hej!

Anta att vi har en funktion som definieras av någon formel $z=f(x,y)$ och låt $\displaystyle Q\equiv \frac{\partial f}{\partial x}$

Hur skulle man i så fall tolka ett uttryck som det nedan?

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial Q}$

Det jag tänker att man kan göra är följande: vi kan lösa ut $x$ eller $y$ ur $Q$ så att vi får t.ex $\displaystyle x(Q,y)$

Problemet är att funktionen man då får:

$\displaystyle \tilde{f}=\tilde{f}(x(Q,y),y)$

har en annan definitionsmängd än $f$ , så kan vi verkligen använda denna nya funktion för att ta fram $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial Q}$ ?

Uttryck som dessa förekommer extremt ofta i t.ex. termodynamiken men jag förstår inte riktigt hur de ens defineras. Exempelvis är entropin en funktion $S=S(U,V,N)$ , men ofta hanterar man derivator som

$\displaystyle \frac{\partial S}{\partial T}$

där $1/T=\partial S/ \partial U$

Generellt så är inte $df/dQ$ väldefinierat, precis som du är inne på. Variabeln $Q$ är inte är en oberoende variabel utan beror likt $f$ av $x$ och $y$ . Om vi vill differentiera med avseende på $Q$ måste vi därför hitta ett sätt att betrakta $f$ som en funktion av $Q$ (och ev. övriga variabler).

För varje fixt $y$ , om funktionen $x\mapsto Q(x,y)$ är inverterbar så finns det en invers $x=x(Q,y)$ , och då kan vi definiera $\tilde{f}(Q,y) = f(x(Q,y),y)$ . Här är $Q$ och $y$ oberoende variabler, och vi kan definiera $df/dQ$ som $d\tilde{f}/dQ$ .

Exempel: Låt $f(x,y) = x^2 + y$ . Då är $Q=2x$ och vi får $x=Q/2$ , vilket ger $\tilde{f}(Q,y)=Q^2/4 + y$ och $d\tilde{f}/dQ = Q/2$ . I princip har vi gjort ett koordinatbyte $(x,y) \mapsto (Q,y)$ .

Om istället $f(x,y) = x^3 + y$ , då är $Q=3x^2$ inte inverterbar.

Om $S$ beter sig tillräckligt väl så är, för givna $V$ och $N$ , funktionen $U\mapsto T(U,V,N)$ inverterbar och vi kan skriva $U=U(T,V,N)$ och få funktionen $\hat{S} = S(U(T,V,N),V,N)$ . Efter detta variabelbyte kan vi tolka uttrycket $dS/dT$ som $d\hat{S}/dT$ .

Hmm. Ja, okej, det är rimligt.

Jag tänkte också ytterligare på detta och det finns väl ett bra skäl att använda notationen $\partial S/\partial T$ istället för $\partial\hat{S}/\partial T$ :

Vi kan ju ställa oss frågan vad som händer med $S$ om $T$ förändras med ett litet inkrement $dT$ . Då skulle vi, i linje med den typiska formen för differentialer, kunna skriva

$\displaystyle dS=\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V,N}dT$

Det är ju onekligen så att om $T$ förändras kommer $S$ också ändras, även om $S$ egentligen inte uttryckligen beror av $T$ . Faktum är att det kanske till och med är så att $d\hat{S} = dS$ ?

Svara