7 svar
100 visningar
naytte Online 4044 – Moderator
Postad: 31 mar 13:10 Redigerad: 31 mar 13:16

Hur förstår ni differentialer som "dy" intuitivt?

God middag!

Jag har, som kanske bekant, på senaste tiden arbetat en del med hur man kan definiera analys med infinitesimaler och håller nu på med derivator. Man har sett differentialer som dy\mathrm{d}y och dx\mathrm{d}x tusentals gånger förut, men åtminstone min uppfattning om vad dessa objekt faktiskt är var alltid väldigt vag, något i stil med "infinitesimala förändringar i yy respektive xx".

Det var inte förrän för några dagar sedan som jag klockade ordentligt vad dessa objekt är och åtminstone hur man kan tolka dem geometriskt.

Jag är nyfiken på vad ni förstår under begreppet differential. Vad är en differential som dy\mathrm{d}y enligt er (intuitiva) uppfattning?

Calle_K 1731
Postad: 31 mar 14:17

Infinitesimalen dx har dimensionen Längd och även en riktning, därmed är det enligt mig en faktisk sträcka i någon mån. Dock är det ingen kvantiferbar sträcka i den mening att summan av M stycken efterföljande dx aldrig kan uppnå t.ex. 1 längdenhet för något tal M. Det blir därmed även svårt att relatera längden av M·dx med dx på något sätt.

Hur ser din intuitiva tolkning ut? :)

naytte Online 4044 – Moderator
Postad: 31 mar 14:52 Redigerad: 31 mar 14:57

Jag håller med till fullo om din uppfattning att dx\mathrm{d}x är något som aldrig kan bli reellt, oavsett hur man försöker manipulera objektet algebraiskt. Det är väl egentligen det som är definitionen för en infinitesimal. Om man vill fylla tallinjen med infinitesimaler (och kanske oändligheter om man vill att det ska vara en kropp) så skulle man få ett "hopp" i tallinjen där man går från det infinitesimala till det reella. 

Men anser du att dx\mathrm{d}x och liknande former är vektorer då?


Min uppfattning är kanske mer primitiv. Men för att förklara den vill jag tillägga lite bakgrund, där det antas att infinitesimaler har införts och existerar på tallinjen. Om vi skulle ha en icke-konstant kurva y=y(x)y=y(x) och göra en infinitesimal förändring Δx\Delta x i den oberoende variabeln xx, skulle detta leda till en motsvarande infinitesimal förändring i vår beroende variabel Δy\Delta y. Vi kan då säga att:

ΔyΔxdydx\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

I själva verket kommer skillnaden endast vara infinitesimal. Så om vi lägger till någon passande infinitesimal β\beta får vi:

β+ΔyΔx=dydxdy=Δy+βdx\displaystyle \beta+\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\iff \mathrm{d}y=\Delta y+\beta\mathrm{d}x

Vår oberoende variabel Δx=dx\Delta x = \mathrm{d}x eftersom förändringen i xx är lika stor för både tangenten och kurvan.

Så det vi ser här är att infinitesimala förändringen i yy-led hos tangenten till den relevanta kurvan endast skiljer sig infinitesimalt mycket från den infinitesimala förändringen i yy-led hos kurvan y=y(x)y=y(x) vi tittade på. Så min tolkning är lite mer algebraisk, tror jag.

dy\mathrm{d}y i detta fall är den infinitesimala förändringen hos tangenten till kurvan för en steglängd dx\mathrm{d}x, och den är infinitesimalt nära förändringen Δy\Delta y hos kurvan som tangeras.

Det kan tyckas vara trivialt men det tog som sagt ett bra tag tills jag klockade detta. Häftigt, faktiskt!


Den här tolkningen passar rätt bra också, för då definieras uttryck som dy/dx\mathrm{d}y/\mathrm{d}x faktiskt som kvoter som låter sig manipuleras på massvis av roliga sätt, exempelvis:

Låt y=arcsinxx=siny\displaystyle y=\arcsin x \iff x=\sin y:

dydx=1dx/dy=1cosy=11-sin2y=11-x2\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}y}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

En annan väldig trevlig grej med den insikten är att det mejkar mycket sense var former som dessa kommer ifrån:

dy=f'(x)dx\displaystyle \mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x

Calle_K 1731
Postad: 1 apr 19:00 Redigerad: 1 apr 19:01

Intressanta svar! Det märks att du lagt ned mycket tid på detta område :)

naytte skrev:

Den här tolkningen passar rätt bra också, för då definieras uttryck som dy/dx\mathrm{d}y/\mathrm{d}x faktiskt som kvoter som låter sig manipuleras på massvis av roliga sätt, exempelvis:

Låt y=arcsinxx=siny\displaystyle y=\arcsin x \iff x=\sin y:

dydx=1dx/dy=1cosy=11-sin2y=11-x2\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}y}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Detta har jag aldrig tänkt på, ett helt nytt perspektiv för mig!


Gällande din fråga:

Men anser du att dx och liknande former är vektorer då?

Ja, eftersom att dx har ett belopp och riktning är det ju per definition en vektor. Dock blir det ingen "vanlig" vektor, utan en infinitesimal vektor. Finns det redan en sådan utvidgning på begreppet eller är det kanske någonting att kika vidare på...? :)

naytte Online 4044 – Moderator
Postad: 1 apr 19:33 Redigerad: 1 apr 21:18

Finns det redan en sådan utvidgning på begreppet eller är det kanske någonting att kika vidare på...? :)

En intressant tolkning. Men hur rättfärdigar du saker som division med den tolkningen? Tycker du att man har någon norm då och tar normen av dx\mathrm{d}x när man har en kvot som t.ex. dy/dx\mathrm{d}y/\mathrm{d}x? Eller tycker du inte att det är en kvot?

Jag har nog aldrig sett den tolkningen tidigare! Men det verkar definitivt intressant. Om jag får tid över i mitt arbete ska jag utforska det.


Jag håller på att undersöka integraler just nu och huruvida "dx\mathrm{d}x:et" i integraler är samma dx\mathrm{d}x som återfinns i integrering. Det verkar ju så med tanke på att:

dy=f'(x)dxy=f(x)\displaystyle \mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x \iff y=f(x)

Men det framstår som att xx:et i argumentet till ff i uttryck som:

f(x)dx\displaystyle \int_{}^{}f(x)\mathrm{d}x

Är en "dummy variable" eller vad det nu heter. Den verkar inte fylla någon konkret funktion egentligen. Jag tror att det gömmer sig något djupare (som inte har med Riemannsummor att göra) bakom den notationen som jag inte fattar än.


Desstom är det logiskt på ett annat plan om vi blickar tillbaka till "kvotrepresentationen" av derivatan:

f(x)dx=dydxdx=dy=y\displaystyle \int_{}^{}f(x)\mathrm{d}x=\int_{{}}^{}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x =\int_{}^{}\mathrm{d}y=y

Bara av att titta på det så verkar det som att vi summerar infinitesimala förändringar dy\mathrm{d}y från tangenterna till varje (alltså oändligt många) punkt på y=f(x)y=f(x). Men det känns som en, ursäkta språket, skitkonstig tolkning.

Ett möjligt synsätt nu när jag har fyllt på mina glykogenförråd och kan tänka lite bättre är rent "symboliskt", vi skulle kanske kunna tänka att symbolen:

\displaystyle \int_{}^{}

är en operator som tar en differential och gör om den till motsvarande reella objekt. Jag gillar inte riktigt Leibniz idéer om "Riemannintegrering"´, för då krävs det gränsvärden och de vill jag helst undvika så mycket som möjligt.

Jag tror jag fick till det ganska bra med infinitesimaler!!

Nu har jag lyckats få till integrering, bestämda integraler och analysens fundamentalsats. Yippie!

Svara Avbryt
Close