Hur gör man på sådana gränsvärden?

Nu när jag grafar det ser jag att gränsvärdet inte existerar. Men varför existerar det inte? Är det av just den anledningen? Att ingen faktor delas?

Om nämnaren går mot 0 och täljaren inte gör det så går det hela mot (positiva eller negativa) oändligheten.

Ja, såklart! Eftersom det inte går att bli av med faktorn (x-3) kommer x=3 bli en asymptot istället som funktionen närmar sig... Kan man säga generellt att om ingen faktor delas och nämnaren går mot 0 så kan det inte existera något gränsvärde?

Om du tänker på polynom, ja, men det behöver inte vara polynom. sin(x)/x existerar t.ex.

Kom just på ett rätt enkelt sätt att visa det också...

$\underset{x\to 3+}{\lim }\frac{x^2-x-7}{3^{+}-3}=\frac{3^2-3-7}{0^{+}}=\frac{-1}{0^{+}}=-\infty$

$\underset{x\to 3-}{\lim }\frac{x^2-x-7}{3^{-}-3}=\frac{3^2-3-7}{0^{-}}=\frac{-1}{0^{-}}=\infty$

Laguna skrev:

Om du tänker på polynom, ja, men det behöver inte vara polynom. sin(x)/x existerar t.ex.

Nu när jag tänker efter kan det väl inte stämma för polynom heller, eller?

Ex. $\frac{1}{{(x-3)}^2}$ har ju också en nämnare som går mot 0 när x->3 men ändå finns gränsvärdet.

Gör det? Vad blir gränsvärdet?

Laguna skrev:

Gör det? Vad blir gränsvärdet?

$\infty$

Det är likadant för din första fråga.

Språkbruket och notationen är förvirrande. Om gränsvärdet inte är ett tal så existerar det inte, men man skriver ändå att det är någonting, nämligen oändligheten. Jag har inte koll på precis hur man ska uttrycka sig.

$\infty$ är inget tal, så när ett gränsvärde går mot $\pm \infty$ saknas gränsvärdet. Det kan ske i två fall alltså;

Om funktionen är odef i punkten eller om det går mot något sorts oändlighet. Går den mot någon oändlighet så finns det ju ingen gräns på hur mycket funktionen kommer växa.

På engelska säger man: "The limit does not exist."

Nyligen i en annan tråd, så fick jag lära mig att man kan utöka R med et streck så att man inkluderar oändligheten.
Det är dock OK i det flesta fallen att påstå att en funktion går mot någon sorts oändlighet, även trots oändligheten inte är ett tal i sig. Vissa tillåter dock inte detta, och jag har själv haft lärare som inte tillåter en att skriva oändligheten som ett gränsvärde.

https://math.stackexchange.com/questions/127689/why-does-an-infinite-limit-not-exist

https://web.ma.utexas.edu/users/m408n/CurrentWeb/LM2-2-9.php#:~:text=Warning%3A%20when%20we%20say%20a,%E2%88%9E%20is%20not%20a%20number!

Angående utökningen av R: https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line

Här är tråden jag nämnde som hade en liknande fråga: https://www.pluggakuten.se/trad/oandliga-granser/

Aha, jag förstår! Vår lärare hade inte nämnt att det fanns en skillnad mellan egentliga och oegentliga gränsvärden. Jag ursäktar för min felanvändning av begreppen, Laguna! Tack för upplysningen!