Hur integrerade dem?

Jag får samma svar som facit. Jag gjorde så här:

$\displaystyle \int_{\gamma}^{}\textbf{F}\cdot d\textbf{r}=[x=-t\implies d\textbf{r}=\left(-1,-8t\right)dt]=\int_{t=-1}^{t=1}\left(-y\right)dt+\int_{t=-1}^{t=1}\left(1-x\right)\left(-8t\right)dt=...=-\frac{32}{3}$

Jag får detta. Är det rätt? $2{\int }_0^{1}4t^2-8t+4 dt$

När jag integrerar som vanligt så får jag 8/3 men sen så är riktningen negativ så -8/3

Nej, det är inte rätt. Kan du visa exakt hur du kom fram till det? Jag ser att du försöker utnyttja symmetri för att bara behöva integrera över halva kurvan, men det funkar inte riktigt så. Ska försöka fundera på hur man kan förklara varför.

Du har inte parametriserat rätt. Ditt $y$ är skrivet som om du valde $x=-t$, men du valde $x=t$.

Kan man inte välja x=t? Och hur blir resten fel? Om man bara väljer att x ska vara t så blir y bara 4-4t^2 väl?

Oj, jag läste fel.

Jo, du kan välja det värdet på $t$! Det som blir fel är som sagt att vi inte kan använda symmetri så som du ville. Om du tar bort tvåan framför och väljer genomlöpningen $t\in[-1, 1]$ blir det rätt.

Aha varför kan man inte det? Har för mig att om man har en integral som går från negativt värde till samma positivt värde kan man ta det men har nog inte fattat det då helt

• Om integranden är jämn och integrationsintervallet symmetriskt, så kan intervallet halveras och integralen multipliceras med 2.
• Om integranden är udda och integrationsintervallet symmetriskt, så är integralen lika med 0.
• Om integranden är varken jämn eller udda, så finns ingen symmetri att utnyttja.

Integranden $4t^2 - 8t + 4$ är inte jämn (och inte udda heller). Man kan eventuellt dela upp integralen i ett jämnt deluttryck (symmetriskt i y-axeln) och ett udda deluttryck (symmetriskt i origo):

$\displaystyle \int_{-1}^1 \underbrace{4t^2}_{\text{jämn}} - \underbrace{8t}_{\text{udda}} + \underbrace{4}_{\text{jämn}}\,dt = \int_{-1}^1 \underbrace{4t^2 + 4}_{\text{jämn}}\,dt - \int_{-1}^1 \underbrace{8t}_{\text{udda}}\,dt = 2 \int_0^1 4t^2 + 4\,dt - 0$

Tack!