Hur kan man visa att det enda lösningsparet är (1, 1)?

Vad betyder. P ?

Mängden av alla primtal.

Texten säger: Visa vilket primtal det måste vara.
Du har hittat ett sådant primtal.  Då är väl saken klar?

Arktos skrev:

Texten säger: Visa vilket primtal det måste vara.
Du har hittat ett sådant primtal.  Då är väl saken klar?

Beredd att hålla med om detta. Dock blir det lite väl klen fråga isåfall.

Med "visa", menar de då bara testa och hitta ett, sedan stoppa i det och se att det resulterar i ett primtal?

Ja, jag trodde att jag var tvungen att visa varför det är det enda primtalet också. Men okej, låt säga att uppgiften var annorlunda formulerad så att man måste motivera varför det inte finns något annat primtal. Hur skulle man kunna göra det då?

Spontant tänker jag att vi vill restriktera x och y mer och mer tills vi bara har (x,y)=(1,1)/(1,-1)/(-1,1)/(-1,-1) kvar (dessa är de enda möjliga värdena på x och y eftersom vi vet att primtalet ska vara 5. Anledningen till att vi vet det är för att vi har hittat en lösning som ger oss 5).

Som du säger är x udda. Inget av talen kan vara 0 och vi kan även begränsa oss till positiva värden då funktionen är symmetrisk (I detta fall är det bara lösningen (x,y)=(1,1) vi är ute efter).

Så möjliga värden på x är udda naturliga tal, möjliga värden på y är naturliga tal (ej 0).

Kanske undersöka jämna/udda värden på y? Eller undersöka vad som händer om x!=y, alternativt de två fallen x>y och x<y?

Du kan faktorisera uttrycket algebraiskt.

Du kan faktorisera uttrycket algebraiskt.

Hur då? Jag letade efter någon faktorisering förut men jag hittade ingen.

Har du faktoriserat x⁴+1 nån gång? Jag tror vi har hållit på med det.

Nej, aldrig.

Då gör vi det nu då. Ditt uttryck nu är en lätt generalisering.

Ta rötterna till x⁴ = -1 och skriv upp alla fyra faktorerna till x⁴+1. Multiplicera sedan ihop dem på ett sådant sätt att det inte är några imaginära koefficienter.

Osäker på hur jag skulle multiplicera ihop dem för att bli av med komplexa koefficienter. Jag kan lösa ekvationen och får då:
$(x+\frac{1+i}{\sqrt{2}})(x-\frac{1+i}{\sqrt{2}})(x-\frac{1-i}{\sqrt{2}})(x+\frac{1-i}{\sqrt{2}})=(x^2+\frac{{(1+i)}^2}{2})(x^2+\frac{{(1-i)}^2}{2})$

Vad får du om du multiplicerar första med fjärde faktorn?

$x^2+\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{{(1-i)}^2}{2}$

Skriv om $\left(x+\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\left(x+\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)$ till $\left(x+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}\right)$ och använd konjugatsatsen.