15 svar
62 visningar
naytte Online 3490
Postad: 30 jan 14:17 Redigerad: 30 jan 14:17

Hur kan man visa att det enda lösningsparet är (1, 1)?

God eftermiddag!

Jag sitter med följande fråga:

x4+4y4x^4+4y^4\in \mathbb{P}, för heltalsparet (x,y)(x, y)\in \mathbb{Z}. Visa vilket primtal det måste vara.

Jag har kommit fram till att xx måste vara ett udda tal, och jag har dessutom hittat paret (1, 1) vilket ger primtalet 5. Men jag lyckas inte visa att det är det enda primtalet som kan skrivas på den formen. Hur kan man gå tillväga där? Tänkte att man kunde kolla med kongruens? Alltså visa att talet alltid är delbart med 5. Det enda primtalet som är delbart med 5 är fem. Då måste det vara 5. Men jag får inte till det.

Arktos Online 3778
Postad: 30 jan 14:27

Vad betyder. ?

naytte Online 3490
Postad: 30 jan 14:27

Mängden av alla primtal.

Arktos Online 3778
Postad: 30 jan 14:38

Texten säger: Visa vilket primtal det måste vara.
Du har hittat ett sådant primtal.  Då är väl saken klar?

Calle_K 1436
Postad: 30 jan 14:40 Redigerad: 30 jan 14:40
Arktos skrev:

Texten säger: Visa vilket primtal det måste vara.
Du har hittat ett sådant primtal.  Då är väl saken klar?

Beredd att hålla med om detta. Dock blir det lite väl klen fråga isåfall.

Med "visa", menar de då bara testa och hitta ett, sedan stoppa i det och se att det resulterar i ett primtal?

naytte Online 3490
Postad: 30 jan 14:41

Ja, jag trodde att jag var tvungen att visa varför det är det enda primtalet också. Men okej, låt säga att uppgiften var annorlunda formulerad så att man måste motivera varför det inte finns något annat primtal. Hur skulle man kunna göra det då?

Calle_K 1436
Postad: 30 jan 14:49 Redigerad: 30 jan 14:49

Spontant tänker jag att vi vill restriktera x och y mer och mer tills vi bara har (x,y)=(1,1)/(1,-1)/(-1,1)/(-1,-1) kvar (dessa är de enda möjliga värdena på x och y eftersom vi vet att primtalet ska vara 5. Anledningen till att vi vet det är för att vi har hittat en lösning som ger oss 5).

Som du säger är x udda. Inget av talen kan vara 0 och vi kan även begränsa oss till positiva värden då funktionen är symmetrisk (I detta fall är det bara lösningen (x,y)=(1,1) vi är ute efter).

Så möjliga värden på x är udda naturliga tal, möjliga värden på y är naturliga tal (ej 0).

Kanske undersöka jämna/udda värden på y? Eller undersöka vad som händer om x!=y, alternativt de två fallen x>y och x<y?

Laguna 27743
Postad: 30 jan 14:49

Du kan faktorisera uttrycket algebraiskt.

naytte Online 3490
Postad: 30 jan 14:50

Du kan faktorisera uttrycket algebraiskt.

Hur då? Jag letade efter någon faktorisering förut men jag hittade ingen.

Laguna 27743
Postad: 30 jan 14:53

Har du faktoriserat x4+1 nån gång? Jag tror vi har hållit på med det.

naytte Online 3490
Postad: 30 jan 14:53

Nej, aldrig.

Laguna 27743
Postad: 30 jan 14:55

Då gör vi det nu då. Ditt uttryck nu är en lätt generalisering.

Ta rötterna till x4 = -1 och skriv upp alla fyra faktorerna till x4+1. Multiplicera sedan ihop dem på ett sådant sätt att det inte är några imaginära koefficienter.

naytte Online 3490
Postad: 30 jan 15:02 Redigerad: 30 jan 15:02

Osäker på hur jag skulle multiplicera ihop dem för att bli av med komplexa koefficienter. Jag kan lösa ekvationen och får då:
(x+1+i2)(x-1+i2)(x-1-i2)(x+1-i2)=(x2+(1+i)22)(x2+(1-i)22)

Laguna 27743
Postad: 30 jan 15:06

Vad får du om du multiplicerar första med fjärde faktorn?

naytte Online 3490
Postad: 30 jan 15:12

x2+12x+(1-i)22

Skriv om x+1+i2x+1-i2 till x+12+i2x+12-i2 och använd konjugatsatsen.

Svara Avbryt
Close