Hur många gånger går bråket?

Jag måste bara personligen säga att jag inte alls får ihop det

Om n/100 -n ska vara ett naturligt tal så måste både n/100 och n vara ett naturligt tal.

För att n/100 ska bli ett naturligt tal så måste n vara minst 100. Fast då blir talet ett väldigt negativt tal och inte naturligt.

Det är inte så att du menar n/(100-n)?

Jo skrev fel

fast sen?

Tillägg: 29 jan 2024 21:21

Det är väl inte att jag ska testa 100 olika tal?

Då kan man ju börja testa och se vad n ska vara för att man ska få olika naturliga tal.

Vi kan börja med det naturliga talet 1.

$$\begin{gathered} \frac{n}{100-n}=1 \\ Multplicera båda sidor med n-100 \\ n=100-n \\ Addera n på båda sidor \\ 2n=100 \\ Dividera med 2 \\ n=100/2=50 \end{gathered}$$

Så n=50 ger svaret 1

Hur får vi naturliga talet 2?

$$\begin{gathered} \frac{n}{100-n}=2 \\ n=2(100-n) \\ n=200-2n \\ 3n=200 \\ n=200/3 \end{gathered}$$

Hur kan vi få det naurliga talet 3

$$\begin{gathered} \frac{n}{100-n}=3 \\ n=3(100-n) \\ n=300-3n \\ 4n=300 \\ n=300/4=75 \end{gathered}$$

Så fortsätter det med samma mönster n= 100/2, 200/3, 300/4, 400/5, 500/6, 600/7, 700/8, 800/9, 900/10 o.s.v.

Vad menar du?

Med vilken kommentar?

Inlägg 6

Àtt jag visade i inlägg 5 att för att få det naturliga talet 1 så ska n vara 100/2, för att få det naturliga talet 2 så bör n vara 200/3 och för att få det naturliga talet 3 så ska n vara 300/4.

Detta bildar ett mönster.

Jag kan visa även för att få det naturliga talet 4 för att du ska se mönstret

$$\begin{gathered} \frac{n}{100-n}=4 \\ n=4(100-n) \\ n=400-4n \\ 5n=400 \\ n=400/5 \\ (vilket också kan skrivas som 80 såklart) \end{gathered}$$

Så det finns 80 olika?

Det finns oändligt många tal

Jaha, tack för hjälpen

Däremot har du ju rätt i ditt ursprungsinlägg att värdet på n inte får vara större än 100, för då blir kvoten negativ.

Då blir inte kvoten ett naturligt tal heller, eller ens heltal.

Laguna skrev:

Då blir inte kvoten ett naturligt tal heller, eller ens heltal.

Vilken kommentar syftar du på?

Om n är större än 100 så kan det väl ändå bli ett heltal?

ex. n=102

$$\begin{gathered} \frac{102}{100-102}=\frac{102}{-2}=-51 \\ -51 \in Z \end{gathered}$$

Ja, jag blandade ihop nånting.

Finns det oändligt många positiva lösningar?

Laguna skrev:

Ja, jag blandade ihop nånting.

Finns det oändligt många positiva lösningar?

Ja alltså inte så att jag kan bevisa det formellt men det går att få n/(100-n) att vara vilket naturligt tal som helst.

Ex. så om $n=\frac{{10}^8}{{10}^6+1}alltså \frac{100 000 000}{100001}$

så är kvoten n/(100-n) lika med det naturliga talet 1 000 000 (en miljon)

På liknande sätt så kan jag hitta ett n som ger att kvoten är det naturliga talet 1 000 002, 1 000 003 o.s.v.

Jaha. De har missat att ange att n ska vara ett heltal.

Laguna skrev:

Jaha. De har missat att ange att n ska vara ett heltal.

Vad jag kan se i frågan så är det bara begräsningen att kvoten ska bli ett naturligt tal.

n kan vara ett rationellt tal då det i frågan endast kallas "tal"

Sorry, upptäckte det nyss det ska vara heltal😅

Ja då blir det ju ett mer begränsat svar. Två av de möjliga heltalen ser du ju i alla fall att jag fått fram n=50 och n=75

Enligt facit ska det bli 8 men jag vet inte hur de kom fram till det😅

Kolla på inlägg #6 igen och se om du får någon idé.

Det här känns som en ganska svår uppgift för 9:an.

Är i åk7 matte ok men misstänker verkligen det...

Vi vill att n/(100-n) ska vara ett heltal k. Alltså

n/(100-n) = k

Jag vill ha n uttryckt i k i stället för tvärtom. Först ordna så bråket inte är ett bråk längre, och då multiplicerar jag med 100-n:

n(100-n)/(100-n) = k(100-n)
n = k(100-n) = 100k - kn

Få alla n på samma sida:

n+kn = 100k
n(k+1) = 100k

Dela med k+1 så har vi fått n uttryckt i k:

n = 100k/(k+1)

Om vi sätter in naturliga positiva tal som k så får vi följden som Jonto visade:

k = 1 ger n = 100/2
k = 2 ger n = 100*2/3

osv.

När är då detta ett heltal? k+1 ska vara en faktor i 100k. k+1 och k har inga faktorer gemensamma (det här är nog mer än 9:ans nivå) så k+1 måste vara en faktor i 100. Vilka sådana tal finns det?

100 går att dela med 2 och med 4, men inte 8. Det går också att dela med 5 och 25. Vi kan kombinera 2 eller 4 med 5 eller 25 så får vi fler faktorer: 2*5, 4*5, 2*25 och 4*25. Det blev åtta olika fungerande värden på k sammanlagt.

Med "mer än 9:ans nivå" menar jag inte att det egentligen använder någon matematik som man inte kan förstå i 7:an till och med, men att man lär sig begreppen faktor, delbarhet och sådant först då, så det blir lätt att tänka ut svaret.

Gick det att hänga med i det här?

Nu fattar jag, tack för hjälpen😃