Hur mätte man acceleration och hastighet innan vi hade digitala verktyg?

Galileo exempelvis släppte ju inte i första hand föremål från tornet i Pisa, utan arbetade med lutande plan. Det var ett sätt att få gravitationen att verka långsammare. Han arbetade även med pendlar där man kan observera många perioder för att få en OK noggrannhet. 

Man kan även göra experimenten riktigt stora, som Eratosthenes beräkning av Jordens omkrets. 

De digitala instrumenten är ju en vidareutveckling av de analoga. T.ex inom mitt älsklingsämne elläran kan man jämföra en digital multimeter med ett analogt visarinstrument. Digitalmultimetern tar sampel med jämna mellanrum av ett analogt mätvärde.

Vetenskapsmän har nog alltid fått anpassa sina experiment och mätmetoder till vad som för stunden är möjligt att utföra och mäta. Ibland lyckas man med enkla medel få till väldigt noggranna mätningar.
Nån gång i framtiden kommer kanske någon att undra hur vi i början på 2000-talet klarade av de framsteg som gjorts nu.

Tack för svaren! Det var ju verkligen listigt att använda lutande plan för att göra experimenten långsammare!

Jag funderade på ett sätt att komma fram till värdet på $g$ imorse som kanske skulle fungera. Låt säga att vi med grund i många experiment postulerar att accelerationen vid ohindrad rörelse nedåt (upp till en vinkel) är konstant. För fritt fall ($\theta = \pi/2$) kan vi kalla denna acceleration för $g$. I så fall bör vi veta att

$\displaystyle \frac{d^2x }{{dt}^2}=g$

Om vi löser denna ekvation får vi

$\displaystyle x \left(t\right)=v_0t+\frac{1}{2}gt^2+x_0$

Borde man inte kunna använda det här sambandet för att bestämma $g$ matematiskt genom att mäta tiden det tar för ett föremål att falla en viss höjd och utnyttja att $v_0 = 0\;\mathrm{ms^{-1}}$? Det vill säga, om vi skulle vilja bygga upp mekaniken igen "från ingenting", hade man kunnat göra så här för att bestämma $g$?

Ja, det räcker att man bara i något sammanhang mäter ett objekts position när det faller. Om man anpassar en andragradskurva med någon metod är det bara att läsa av koefficienten framför den kvadratiska termen. Vi gjorde detta i skolan och hade hyfsad utrustning (Motion Capture-kameror), men det var ändå överraskande hur nära man faktiskt kommer det korrekta värdet. 

"Tyvärr" utspelas många fysikaliska processer i tidsdimensionen, som t.ex rörelse och acceleration. Historiskt sett har vi haft svårt att mäta tid med hög precision. Gallileo hade timglas, vattenklocka eller sin puls att tillgå. Det var ganska nyligen som vi kunde mäta tid med lite högre precision, se  timekeeping devices.

Problemet, historiskt sett, har alltså varit att kunna mäta tiden. Matematiken hade de koll på åtminstone för ett par hundra år sedan.

Fartyg mätte sin hastighet med nånting som de kastade i sjön och som fick en lina att löpa ut ("log" på engelska). Förmodligen räknade de sekunderna utan verktyg, ett, två, tre... Då kunde de sedan göra en uppskattning av var de var, för det var länge svårt att mäta longitud.

Det allra krångligaste är väl att ens komma fram till hypotesen att accelerationen faktiskt är konstant i tid? Man kan ju testa att konstruera ramper med olika lutningar och notera tid och förflyttning då man låter t.ex. en kula eller liknande rulla ned för rampen. Låt säga att man har sådan data med hyfsat hög noggrannhet för olika lutningar $\theta$. Kan man använda detta? Det känns ju lockande att göra en kvadratisk regression direkt men då förutsätter man ju redan att accelerationen är konstant i tid.

När man tar fram en modell så går det först ut på att man ”gissar” (hypotes) hur den ser ut. Därefter används den för att ta fram prediktioner som jämförs med faktiska uppmätta datapunkter. Denna jämförelse brukar göras med olika typer av felmått (MSE, MSD osv). Om modellen ger ett lågt fel på många olika typer av data så kan man ju vara ganska säker på att ens hypotes stämmer.

Det faktum att de prediktioner vi gör med hypotesen stämmer så bra är såklart evidens för att den är korrekt, och det gäller ju oavsett hur vi kommer fram till att accelerationen är konstant i tid.

Men det är ju också nice att ha en motivering bakom sin hypotes, för det är ju inte helt lätt att bara "komma på" att tyngdaccelerationen ska vara konstant med avseende på tid. Kan man använda experiemtnuppställningen jag beskrev ovan på något rimligt sätt för detta?

Det Galileo gjorde var att ifrågasätta Aristoteles världsbild, att tunga saker faller snabbare än lätta och att allt faller med konstant fart. 

Han konstaterade säkert att s=kt², men bestämde väl inte nödvändigtvis att k=9,8/2. 

Det är lite som Joule som inte köpte att värme var ett särskilt ämne, något separat som fanns inne i föremål. Han hängde upp vikter som fick driva paddelhjul som rörde runt vatten. Med det kunde han visa att mekanisk energi kunde omsättas till värme. Upprepade experiment och temperaturmätningar. Vi skulle nog inte känna igen hans egenkonstruerade enheter idag, men köper däremot resonemanget (och den generella enheten för energi oavsett form). 

Idé och lärdomshistoria A var en av de roligaste kurserna jag läste. Ett bra komplement till MatNat. 

Jag kom att tänka på en sak idag ute på min löprunda som jag skulle vilja dela med mig av i den här tråden.

Vi definierar ju hastighet och acceleration som tidsderivator av positionsfunktionen, och för att kunna derivera en funktion i en punkt måste funktionen vara definierad i en omgivning till punkten. Låt oss anta att vi släpper en kula från en viss höjd. Då säger vi att kulan i varje ögonblick har en hastighet och en acceleration, trots att den omgivning till ögonblicket som krävs för att beräkna derivator inte existerar ännu. Innebär det på något sätt att naturen redan har "bestämt" vilken bana partikeln kommer ta i en liten omgivning till punkten där partikeln befinner sig? För att matematisera det jag menar en aning:

Låt säga att partikeln vid tiden $t$ har fallit längden $h$, alltså $x\left(t\right)=h$. Då säger vi att partikeln har en viss hastighet i den punkten. Men måste partikeln inte egentligen falla åtminstone en kort tid, $\Delta t$, till, för att vi ska kunna bestämma hastigheten vid tiden $t$? Funktionen borde ju inte vara deriverbar innan partikeln har fallit så att $x$ är definierad i en omgivning runt $t$!

Jo, för att vi skall kunna bestämma den behövs en blick in i framtiden, ett Δt. Men oavsett om någon observerar den eller om Newton/Leibniz hunnit uppfinna differentialkalkylen har partikeln ändå ett tillstånd som bestämmer dess framtida bana.

Jag ser det lite som ett tåg som följer en räls. Det är predestinerat att följa rälsens bana, men behöver inte åka på den för att rälsen skall existera.

Det blir som någon form av initalvärdesproblem, inte en derivering i efterhand. Partikelns tillstånd borde alltså inte bara vara x(t) utan ( x(t), v(t) ).

Hmm ... Det här blev nog inte så bra uttryckt. Jag vet ungefär vad jag menar, men måste nog tänka lite mer på saken. Postar ändå.

Varför behövs en inblick i just framtiden? Borde inte dåtiden fungera precis lika bra? Och det känns mer konkret då det redan hänt.

Det är en bra poäng! Det beror kanske på hur man definierar derivatan. Det är naturligt att tänka att funktionen måste vara definierad i en omgivning till punkten där man försöker derivera för att derivatan ska vara definierad, men nu när du säger det tror jag att du har rätt i att man bara behöver omgivningen "åt ett håll". I definitionen av gränsvärdet kvantifierar man ju endast över de $t$ som ingår i domänen till funktionen man studerar!

Tillägg: 25 jan 2026 20:14

Men hur hanterar vi då $t=0$ (alltså innan partikeln har färdats alls)? :)

Angående detta med mätning av hastighet och acceleration. Spekulerar lite bara, men tempografen är ju mekaniskt sett ett ganska enkelt instrument vars princip är helt genial. Det _känns_ som någonting som en klurig vetenskapsman skulle ha kunnat utnyttja på ett eller annat sätt.

naytte skrev:

Det är en bra poäng! Det beror kanske på hur man definierar derivatan. Det är naturligt att tänka att funktionen måste vara definierad i en omgivning till punkten där man försöker derivera för att derivatan ska vara definierad, men nu när du säger det tror jag att du har rätt i att man bara behöver omgivningen "åt ett håll". I definitionen av gränsvärdet kvantifierar man ju endast över de $t$ som ingår i domänen till funktionen man studerar!

---

Tillägg: 25 jan 2026 20:14

Men hur hanterar vi då $t=0$ (alltså innan partikeln har färdats alls)? :)

Är det meningsfullt att prata om en partikels hastighet (annan än noll) innan den färdas?

Är det meningsfullt att prata om en partikels hastighet (annan än noll) innan den färdas?

Jag vet inte. Men vi alla (?) är ju rätt benägna att påstå att en partikel som inte rör sig inom vår referensram har $\mathbf{v}=\mathbf{0}\;\mathrm{ms^{-1}}$ trots att $\partial_t \mathbf{x}$ inte existerar än.

Tillägg: 26 jan 2026 08:12

Fixade skrivfel. Hade råkat skriva v istället för x i derivatan.

naytte skrev:

Är det meningsfullt att prata om en partikels hastighet (annan än noll) innan den färdas?

Jag vet inte. Men vi alla (?) är ju rätt benägna att påstå att en partikel som inte rör sig inom vår referensram har $\mathbf{v}=\mathbf{0}\;\mathrm{ms^{-1}}$ trots att $\partial_t \mathbf{v}$ inte existerar än.

Bara så jag är med på vad vi diskuterar:

- Vi skiljer på fysik och analys, eller hur?

Klassisk mekanik är kontinuerlig och deterministisk. Derivatan kräver en funktion definierad i en omgivning.

Med Newton i ryggen kan jag postulera: just nu verkar en kraft, alltså har jag en acceleration. 

Jag vet inte riktigt vad du menar med att skilja på fysik och analys. Jag tänker att om man vill skapa en logiskt koherent teori (klassisk mekanik i vårt fall) så måste matematiken komma först och observationerna efteråt (även om det förstås skedde åt andra hållet historiskt). Begreppen vi använder (hastighet, acceleration) betyder då ingenting utanför matematiken. Men detta kanske är fel sätt att se på det.

Man måste väl inte ha en acceleration bara för att en kraft verkar? Endast om det finns en nollskild nettokraft, skulle jag tolka Newton II som. Det vore ju konstigt om man accelererade utan att röra sig!

naytte skrev:

Är det meningsfullt att prata om en partikels hastighet (annan än noll) innan den färdas?

Jag vet inte. Men vi alla (?) är ju rätt benägna att påstå att en partikel som inte rör sig inom vår referensram har $\mathbf{v}=\mathbf{0}\;\mathrm{ms^{-1}}$ trots att $\partial_t \mathbf{x}$ inte existerar än.

---

Tillägg: 26 jan 2026 08:12

Fixade skrivfel. Hade råkat skriva v istället för x i derivatan.

Jo det var så jag menade, en partikel som inte rör sig borde man kunna anta har hastigheten noll. Och så snart den rör sig så kan man räkna ut tidsderivatorna. 

Jag tänkte vidare lite grann på detta och jag har kommit fram till att vi kanske ändå behöver en dubbelsidig omgivning kring vår punkt om vi vill kunna tala meningsfullt om hastighet et cetera. Tänk om partikeln faller och sedan fångas och hålls still. Skulle den då ha en nollskild hastighet i punkten då den fångas? Knappast! Så min fråga från tidigare kvarstår.

Men det jag menar angående startpunkten är att om hastighet definieras som första tidsderivatan av positionsfunktionen, och positionsfunktionen består ”av en punkt” innan fallet, hur kan vi tillskriva partikeln en hastighet överhuvudtaget innan fallet? Jag tänkte att man kunde lösa problemet genom att tänka att positionsfunktionen till vänster om $t=0$ har $\mathbf{x}\left(t\right)=\text{konstant}$, men då blir ju problemet att $\mathbf{x}$ kanske inte blir deriverbar i $t=0$…

Förhoppningsvis framgår det vad jag menar i ovanstående inlägg, men låt mig vara lite mer konkret. Låt oss anta att vi studerar en funktion $x: [0,a] \to \mathbb{R}$ för vårt endimensionella fall, där $t=0$ motsvarar den tidpunkt då fallet börjar och $t=a$ den punkt där det slutar. Om vi vet a priori att

$\displaystyle x\left(t\right)=v_0 t-\frac{1}{2}gt^2$

ska det dessutom gälla (enligt den vanliga definitionen av derivata där vi endast kvantifierar över $t\in[0,a]$) att $v\left(0\right)=v_0$. Denna initialhastighet går inte att bestämma entydigt utan mer information. Denna information kan vi få genom att vi "lappar ihop" vår kurva med en konstant kurva för något sammanhängande intervall för $t\le 0$ (partikeln måste ju vara på den önskade höjden i åtminstone någon tid innan den släpps och detta motsvarar en konstant kurva till vänster om $t=0$).

Låt oss anta att partikeln överför all sin rörelsemängd till marken vid nedslaget. Hur ska man då tänka kring exempelvis punkten där partikeln slår ned i marken? Om vi slutar mäta tiden precis då partikeln landar i $t=a$ skulle vi inte få en nollskild hastighet där (vilket den bör ha eftersom den ligger still). Samtidigt kan vi inte heller "lappa ihop" vår positionsfunktion med en konstant kurva till höger om $t=a$ eftersom vi då får en funktion som nödvändigtvis är icke-differentierbar. Så hur ska man göra här? Har partikeln helt enkelt ingen hastighet (eller acceleration, eller något annat) precis vid nedslaget?