Hur mätte man acceleration och hastighet innan vi hade digitala verktyg?

Hej!

Jag har funderat en del på hur man använder matematik i fysik de senaste veckorna och en fråga jag inte lyckas hitta nöjaktiga svar på är hur man mätte hastighet och acceleration förr i tiden.

Låt oss anta att vi har ett tids- och ortsbegrepp, alltså att vi kan beskriva positionen hos ett objekt inom ett koordinatsystem med någon differentierbar funktion $\mathbf{x}:\mathbb{R}\to\mathbb{R^3}$ som definieras enligt $\mathbf{x}=\mathbf{x}\left(t\right)$ . Vi kan då rent matematiskt definiera hastigheten och accelerationen enligt

$\displaystyle \mathbf{v}\left(t\right):= \frac{d \mathbf{x}}{dt}$

$\displaystyle \mathbf{a}\left(t\right):= \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2 \mathbf{x}}{dt^2}$

När vi utför verkliga mätningar på ett föremål som kontinuerligt förflyttar sig kan vi förstås inte mäta dessa storheter exakt, men vi kan approximera dem väl längs en bana genom att genomföra väldigt frekventa mätningar av position och tid och sedan "släta ut hålen" som vi får mellan våra mätningar. För att resultatet ska bli bra krävs ganska komplicerad (digital) utrustning som givetvis inte fanns för hundratals år sedan, och trots detta lyckades folk ta fram exempelvis tyngdaccelerationen eller mäta hastigheter med hög noggrannhet. Hur bar man sig historiskt?

Galileo exempelvis släppte ju inte i första hand föremål från tornet i Pisa, utan arbetade med lutande plan. Det var ett sätt att få gravitationen att verka långsammare. Han arbetade även med pendlar där man kan observera många perioder för att få en OK noggrannhet.

Man kan även göra experimenten riktigt stora, som Eratosthenes beräkning av Jordens omkrets.

De digitala instrumenten är ju en vidareutveckling av de analoga. T.ex inom mitt älsklingsämne elläran kan man jämföra en digital multimeter med ett analogt visarinstrument. Digitalmultimetern tar sampel med jämna mellanrum av ett analogt mätvärde.

Vetenskapsmän har nog alltid fått anpassa sina experiment och mätmetoder till vad som för stunden är möjligt att utföra och mäta. Ibland lyckas man med enkla medel få till väldigt noggranna mätningar.
Nån gång i framtiden kommer kanske någon att undra hur vi i början på 2000-talet klarade av de framsteg som gjorts nu.

Tack för svaren! Det var ju verkligen listigt att använda lutande plan för att göra experimenten långsammare!

Jag funderade på ett sätt att komma fram till värdet på $g$ imorse som kanske skulle fungera. Låt säga att vi med grund i många experiment postulerar att accelerationen vid ohindrad rörelse nedåt (upp till en vinkel) är konstant. För fritt fall ( $\theta = \pi/2$ ) kan vi kalla denna acceleration för $g$ . I så fall bör vi veta att

$\displaystyle \frac{d^2x }{{dt}^2}=g$

Om vi löser denna ekvation får vi

$\displaystyle x \left(t\right)=v_0t+\frac{1}{2}gt^2+x_0$

Borde man inte kunna använda det här sambandet för att bestämma $g$ matematiskt genom att mäta tiden det tar för ett föremål att falla en viss höjd och utnyttja att $v_0 = 0\;\mathrm{ms^{-1}}$ ? Det vill säga, om vi skulle vilja bygga upp mekaniken igen "från ingenting", hade man kunnat göra så här för att bestämma $g$ ?

Ja, det räcker att man bara i något sammanhang mäter ett objekts position när det faller. Om man anpassar en andragradskurva med någon metod är det bara att läsa av koefficienten framför den kvadratiska termen. Vi gjorde detta i skolan och hade hyfsad utrustning (Motion Capture-kameror), men det var ändå överraskande hur nära man faktiskt kommer det korrekta värdet.

"Tyvärr" utspelas många fysikaliska processer i tidsdimensionen, som t.ex rörelse och acceleration. Historiskt sett har vi haft svårt att mäta tid med hög precision. Gallileo hade timglas, vattenklocka eller sin puls att tillgå. Det var ganska nyligen som vi kunde mäta tid med lite högre precision, se timekeeping devices.

Problemet, historiskt sett, har alltså varit att kunna mäta tiden. Matematiken hade de koll på åtminstone för ett par hundra år sedan.

Fartyg mätte sin hastighet med nånting som de kastade i sjön och som fick en lina att löpa ut ("log" på engelska). Förmodligen räknade de sekunderna utan verktyg, ett, två, tre... Då kunde de sedan göra en uppskattning av var de var, för det var länge svårt att mäta longitud.

Det allra krångligaste är väl att ens komma fram till hypotesen att accelerationen faktiskt är konstant i tid? Man kan ju testa att konstruera ramper med olika lutningar och notera tid och förflyttning då man låter t.ex. en kula eller liknande rulla ned för rampen. Låt säga att man har sådan data med hyfsat hög noggrannhet för olika lutningar $\theta$ . Kan man använda detta? Det känns ju lockande att göra en kvadratisk regression direkt men då förutsätter man ju redan att accelerationen är konstant i tid.

När man tar fram en modell så går det först ut på att man ”gissar” (hypotes) hur den ser ut. Därefter används den för att ta fram prediktioner som jämförs med faktiska uppmätta datapunkter. Denna jämförelse brukar göras med olika typer av felmått (MSE, MSD osv). Om modellen ger ett lågt fel på många olika typer av data så kan man ju vara ganska säker på att ens hypotes stämmer.

Det faktum att de prediktioner vi gör med hypotesen stämmer så bra är såklart evidens för att den är korrekt, och det gäller ju oavsett hur vi kommer fram till att accelerationen är konstant i tid.

Men det är ju också nice att ha en motivering bakom sin hypotes, för det är ju inte helt lätt att bara "komma på" att tyngdaccelerationen ska vara konstant med avseende på tid. Kan man använda experiemtnuppställningen jag beskrev ovan på något rimligt sätt för detta?

Det Galileo gjorde var att ifrågasätta Aristoteles världsbild, att tunga saker faller snabbare än lätta och att allt faller med konstant fart.

Han konstaterade säkert att s=kt², men bestämde väl inte nödvändigtvis att k=9,8/2.

Det är lite som Joule som inte köpte att värme var ett särskilt ämne, något separat som fanns inne i föremål. Han hängde upp vikter som fick driva paddelhjul som rörde runt vatten. Med det kunde han visa att mekanisk energi kunde omsättas till värme. Upprepade experiment och temperaturmätningar. Vi skulle nog inte känna igen hans egenkonstruerade enheter idag, men köper däremot resonemanget (och den generella enheten för energi oavsett form).

Idé och lärdomshistoria A var en av de roligaste kurserna jag läste. Ett bra komplement till MatNat.

Svara

Visa senaste svar