Hur motiverar man kontinuumantagandet i mekanik och liknande områden?

Hej!

Jag har under en längre period nu, som kanske har blivit tydligt av många av mina trådar, haft en del konceptuella problem med det man ibland kallar för "kontinuumantagandet", alltså att fysikaliska storheter är kontinuerligt fördelade, alltså punktvis definerade, i rummet.

Jag skapade nyligen en tråd om massa och jag fann svaren i den tråden ganska tillfredsställande. Tråden handlade sammanfattat om vad det betyder att tillskriva egenskaper hos objekt mätetal samt när och hur det är möjligt. Denna fråga är eventuellt tangentiellt relaterad till denna tråd, varför jag länkade den ovan.

I fluiddynamiken definierar vi exempelvis densiteten hos en fluid som gränsvärdet

$\displaystyle \rho\left(\mathbf{r}\right):=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{\Delta m}{\Delta V}$

där $\Delta V$ är en kontrollvolym runt punkten $\mathbf{r}$ och $\Delta m$ är massan inom denna kontrollvolym.

En definition som denna lutar sig, om än implicit, på antagandet om att massan i själva verket är en funktion $m=m\left(\mathbf{r}\right)$, alltså i sig en punktvis definierad funktion.

Men hur motiverar vi ett sådant antagande? Massa är knappast en kontinuerlig funktion i verkligheten, ty atomer är diskreta ting och därför borde massa också vara diskret. Kan det vara så att det massbegrepp vi åberopar i definitionen av densitet ovan är ett annat massbegrepp än det vi är vana vid i vardagligt tal och vardagliga sammanhang? Lite som att det hastighetsbegrepp vi använder i fysik är ett annat än det vi använder i vardagligt tal*? Hur har man definerat massa i det här sammanhanget?

En av böckerna jag har hemma om transportfenomen försöker fuska genom att påstå att densitet inte är ett gränsvärde där $\Delta V \to 0$, utan ett gränsvärde där $\Delta V \to \delta V$, där $\delta V$ är den minsta, statistiskt signifikanta kontrollvolymen. Bortsett från vansinnet att använda gränsvärdesnotationen i detta sammanhang verkar detta inte vara standard, eftersom andra källor verkligen låter $\Delta V \to 0$. Dessutom verkar även min bok senare falla tillbaka på kontinuumantagandet eftersom den använder integraler och andra objekt som explicit kräver kontinuitet...

Utöver det ovannämnda finns det ännu en sak som är lite märklig... Om vi börjar med en storhet $m=m\left(\mathbf{r}\right)$ så kan vi gå åt ena hållet och definiera $\rho=\rho\left(\mathbf{r}\right)$, men vi kan inte längre gå tillbaka åt andra hållet utan då kan vi endast tala om reella skillnader $\Delta m$ genom integraler.

Jag vill tillägga att jag inte har några problem med att rummet är kontinuerligt.

*I vardagligt tal menar vi oftast (tror jag i alla fall) genomsnittshastighet över intervall när vi talar om hastighet, sällan den punktvis definierade storheten som definieras genom gränsvärden som vi menar i fysiken.

Om någon utöver eventuell diskussion i den här tråden skulle ha förslag på litteratur som behandlar och diskuterar denna fråga vore jag all ears! Jag börjar bli ganska irriterad på att jag inte förstår något som tydligen är så trivialt att det aldrig behöver förklaras.