Hur når jag tan(x + y) = tan(x)+tan(y) / 1-tan(x) tan(y)?

Uppgiften vill att jag ska nå $\frac{\tan \left(x\right)+\tan \left(y\right)}{1-\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)}$genom $\tan \left(x+y\right)$,

detta ska utföras genom additionssatserna och $\tan \left(v\right)=\frac{\sin \left(v\right)}{\cos \left(v\right)}$.

Jag har resonerat på följande sätt: $\frac{\sin \left(x+y\right)}{\cos \left(x+y\right)}\Rightarrow \frac{\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)+\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)}$, om jag har försått korrekt, ska nästa steg vara: $\frac{\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)+\cos \left(x\right)\sin \left(y\right)·{\displaystyle \frac{1}{\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)}}}{\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)-\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)·{\displaystyle \frac{1}{\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)}}}$.

Genom att fortsätta uträkningen når jag $\frac{\tan \left(x\right)+\tan \left(y\right)}{1-\tan \left(x\right)\tan \left(y\right)}$korrekt.

Min fråga är, hur kan jag rationalisera eller, vad är "anledningen" med att multiplicera med $\frac{1}{\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)}$på båda leden?