Hur ska jag börja…

Finns det någon på YT som kan förklara/har ni några tips?

Försök faktorisera.

Faktorisera 4 är kanske banalt men det är bra här.

4 = 2*2. Hur ska jag fortsätta?

Vad händer med 4ⁿ då?

Tänker du att 4 = 2^2 och att 4^n = (2^2)^n?

Anonym_15 skrev:

Tänker du att 4 = 2^2 och att 4^n = (2^2)^n?

Detta är en bra ide, ja. Kan vi skriva om $(2^2)^n$ med exponentlagar?

Ja, (2^n)^2

Detta är en bra omskrivning. Då har du alltså att du ska visa att 

$(2^n)^2-1$ inte är ett primtal. 

Det kan ju skrivas om med hjälp av kvadreringsregeln?

Jag skulle spontant ta en annan väg. Skriver en hint som spoiler och fortsätt gärna resonemanget ni redan är inne på. Det är intressant. 

Tänker jag rätt: 4^n -1 = (2^n-1)(2^n+1). Talet kan alltså skrivas som en faktor av två tal större än 1 => sammansatt tal. 

Anonym_15 skrev:

Tänker jag rätt: 4^n -1 = (2^n-1)(2^n+1). Talet kan alltså skrivas som en faktor av två tal större än 1 => sammansatt tal. 

Japp! För alla n>1. Precis så tänkte jag. 

Uppgift 229) är också lite knepig. Mitt försök till tänk visas nedan. Jag nådde inte riktigt ända fram. 

Som ni ser har jag markerat $2·2·2·3$ under varje primtalsval och det verkar att fungera, men bevis är det inte.
Kanske det ändå kan inspirera till något?

p² - 1 = (p+1)(p-1)

p-1 och p+1 är två på varandra följande jämna tal.
Vartannat jämnt tal är också delbart med 4.

Av tre på varandra följande heltal, såsom p-1, p, p+1, är ett delbart med 3.
Det kan inte vara p (primtal), så antingen p-1 eller p+1.

(p-1)(p+1) måste alltså vara delbart med 2*4*3 = 24.

Tack för svaret Louis! Det tog ett tag för mig att följa din tankegång, men med lite egna studier och försök så ser jag att du har gjort en mycket bra sammanfattning av det hela.