Hur ska man bäst tolka begreppet derivata?

Hej!

Derivatan är ett objekt som alla som läser någon matematik använder flitigt till den grad att det ofta sitter i ryggmärgen hur man beräknar och använder den. Emellertid kan det bli så automatiskt att man glömmer den egentliga intuitionen bakom vad objektet är. Denna situation infann jag mig i häromdagen och på vidare fundering undrar jag om de typiska tolkningarna som man hittar verkligen håller. Det är vanligt att man påstår att derivatan i en punkt

• representerar en instantan förändring i en storhet
• representerar en lutning i en punkt
• representerar lutningen hos tangentlinjen till kurvan i punkten. 

Den gemensamma nämnaren bland de första två tolkningarna är att man motsägelsefullt talar om en förändring i en enda punkt, vilket åtminstone logiskt sett inte är särskilt upplysande; man behöver ju alltid minst två punkter för att kunna beräkna en förändring!

Den tredje tolkningen är mycket mer frestande men tyvärr tror jag inte att den håller. Hur definierar man begreppet tangent utan att redan veta vad derivata betyder? Jag är öppen för att den kan vara en nöjaktig tolkning men jag har som sagt aldrig sett någon allmängiltig definition av begreppet tangent som inte åberopar derivatan.

Jag har funderat lite i icke-standardtermer om vad derivatan representerar, och jag skulle vilja presentera mina tankegångar nedan och höra vad ni tycker om dem. Jag kan avslöja att slutsatsen av dessa är att derivatan inte representerar någon slags "instantan förändring", utan snarare en storhet som vi "lika gärna" kan använda istället för faktiskta förändringar. Jag ska försöka illustrera detta med exemplet nedan:

Låt säga att vi studerar en partikel som kastas upp i luften och vars höjd över marken beskrivs av funktionen $f$ som definieras av $\displaystyle f\left(t\right)=t^2$. Vi kan välja en nollskild infinitesimal $\Delta t$ och beräkna medelhastigheten över ett infinitesimalt intervall $I:=[t,t+\Delta t]$ som vanligt:

$\displaystyle \frac{f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t\right)}{\Delta t}=\frac{\Delta f}{\Delta t}=2t+\Delta t$

Denna kvot är alltså generellt en funktion av både $t$ och $\Delta t$ och vi kan tolka den som genomsnittsfarten hos partikeln över intervallet $I$. En viktig observation är att även om kvoten beror på $\Delta t$, så är standarddelen $2t$ entydigt bestämd för varje punkt $t$ oavsett vilken infinitesimal $\Delta t$ vi väljer. Vi kan göra det som kallas att "ta standarddelen" av kvoten, alltså att döda alla infinitesimala komponenter och därigenom erhålla derivatan:

$\displaystyle \mathrm{st}\frac{\Delta f}{\Delta t}=:f^\prime\left(t\right)=2t$

Det mejkar ingen sense att försöka tolka detta som en medelfart längre, för en medelfart kan bara finnas mellan två punkter. Däremot kan vi tolka det som den närmsta standardapproximationen till alla medelfarter över $I$ oavsett val av $\Delta t$. Då är det inte en fart i sig, men vi kan ändå utföra viktiga beräkningar med den. Vad menar jag med det? Jo, låt säga att vi önskar beräkna förändringen i partikelns läge mellan tiderna $t=a$ och $t=b$. Intuitivt vill vi summera oändligt många termer på formen $\left(2t+\Delta t\right)dt$, för någon infinitesimal $dt$, över $[a,b]$, och sedan döda eventuella infinitesimala fel genom att ta standarddelen:

$\displaystyle \Delta f=\mathrm{st}\sum_{a}^{b}\left(2t+\Delta t\right)dt=\mathrm{st}\left(\sum_{a}^{b}2tdt+\Delta t\sum_{a}^{b}dt\right)=\dots$

Vi summerar alltså oändligt många, infinitesimala förflyttningar genom att använda våra medelhastigheter över infinitesimala intervall på samma form som $I$.

Notera att termen $\Delta t\sum_{a}^{b}dt$ har en infinitesimal faktor, vilket rimligtvis gör hela termen infinitesimal så att den försvinner då vi tar standarddelen. Vi hade alltså fått samma sak som om vi istället hade räknat

$\displaystyle \displaystyle \Delta f=\mathrm{st}\sum_{a}^{b}f^\prime\left(t\right)dt=\mathrm{st}\sum_{a}^{b}2tdt=\dots$

Om vi alltså ändå får samma sak, oavsett om vi räknar med faktiska medelfarter över infinitesimala intervall, eller bara använder derivatan, varför inte använda derivatan? Den är ju entydigt bestämd i varje punkt i definitionsmängden till $f$ och den är klart enklare att hantera. Det är dock INTE en fart i sig utan en approximation till alla medelfarter över infinitesimala intervall som går lika bra att använda eftersom man får samma svar ändå. 

Tolkningen ovan tror jag generaliseras ganska naturligt till mer geometriska tolkningar av derivatan, där vi vill tänka att det är någon slags lutning. Derivatan i en punkt är då det närmsta reella talet till alla lutningar mellan punkten i fråga och alla punkter som ligger oändligt nära. Den representerar INTE en lutning i sig. Om det inte spelar någon större roll för våra beräkningar huruvida vi använder denna reella approximation eller de äkta lutningarna kan vi ju lika gärna använda den reella approximationen, eftersom den är unik i varje punkt och är enklare att använda (och är reell, för den delen!).

Jag tror att tolkningarna här sammanfaller ganska väl med den typiska definition av derivata med gränsvärden.

Vad tror ni om tolkningen som presenteras ovan? Är den rimlig, orimlig? Har jag kanske helt fel i att det är paradoxalt att tala om momentana förändringshastigheter?

Jag är väldigt nyfiken till hur ni andra tänker kring detta!