Hur ska man bestämma konstanten C_n, PDE?

Hej!

Jag sitter med uppgiften nedan:

Jag började med att konstatera att det finns radiell symmetri, så vi söker en lösning $u(r,t)$. Jag ansatte

$\displaystyle u(r,t)=R(r)T(t)$ och fick då

$\displaystyle \frac{R''(r)+r^{-1}R(r)}{R(r)}=\frac{T'(t)}{0.05T(t)}=:\lambda$

Vi börjar med $R$:

$\displaystyle r^2R''(r)+rR'(r)-r^2\lambda R(r)=0$

Här kommer min första fråga. Jag ansatte här att $\lambda < 0$ eftersom jag såg min föreläsare göra detta i en uppgift, men jag förstår inte hur man kommer fram till att man ska göra detta.

Hur som helst ansatte jag $x:=r\sqrt{|\lambda |}$ och definierade en funktion $F$ enligt $R(r)=: F(x(r))$. Då transformerades ekvationen till

$\displaystyle x^2F''(x)+xF'(x)+x^2F(x)$

Eftersom $Y_0$ beter sig dåligt då $r \to 0$ är måste lösningen bestå av $J_0$. Vi har alltså, upp till en skalär,

$F(x)=J_0(x) \implies R(r) = J_0(r\sqrt{-\lambda})$

Randvillkor ger

$R_n(r)=J_0(r\sqrt{-\lambda_n})$, $\lambda_n = -(\frac{\pi_n}{5})^2$

Vi har då

$\displaystyle T_n(t)=C_ne^{-0.05(\frac{\pi_n}{5})^2t}$

Med superposition:

$\displaystyle u(r,t)=\sum_{n\ge 1}R_n(r)T_n(t)=\sum_{n\ge 1}J_0(\frac{r\pi_n}{5})C_ne^{-0.05(\frac{\pi_n}{5})^2t}$

Nu vet vi ju också att vid $t=0$ har vi

$\displaystyle \sum_{n\ge 1}J_0(\frac{r\pi_n}{5})C_n=30$

Jag tänkte att man skulle utveckla $30$ i basen $J_0(\frac{r\pi_n}{5})$ för att bestämma $C_n$ genom att jämföra koefficienter, men hur gör man det? Jag vet att bara $J_0(\pi_n r)$ är en bas för $\mathcal{L}^{\;\; 2}_r(0,1)$, men vi har ju inte dessa funktioner i summan... Blir våra funktioner en bas för L²(0,5) eftersom vi delar med 5 inuti?