Kan man tänka bort kompositioner i "tautologiska" variabelberoenden?

Halloj!

Jag har en ganska elementär fråga men som jag aldrig hade varit tvungen att tänka på förrän för någon dag sedan. Låt säga att vi har en funktion med oberoende variabler $T,V,N$ ,

$\displaystyle F(T,V,N)\equiv U(S(T,V,N),V,N)-TS(T,V,N)$

Om vi vill ta fram differentialen av $F$ , $dF$ , så skulle vi kunna göra det så här:

$\displaystyle dF=TdS+\frac{\partial U}{\partial V}dV+\frac{\partial U}{\partial N}dN-SdT-TdS=-SdT+\frac{\partial U}{\partial V}dV+\frac{\partial U}{\partial N}dN$

där $\displaystyle T = \frac{\partial U}{\partial S}$

Egentligen är ju variabelberoendet i den första ekvationen något "tautologisk" i avseendet att $U$ tydligen beror på $S$ , som i sin tur beror på $T,V,N$ . I så fall borde man väl kunna "tänka bort" den explicita kompositionen och istället studera framställningen nedan?

$\displaystyle F(T,V,N)=U(T,V,N)-TS(T,V,N)$

Problemet är ju att om man försöker beräkna $dF$ av den relationen hade man fått något helt annat än det ovan. Så hur ska man tänka här? Borde man inte kunna tänka bort kompositionen?

Är inte säker på vad du menar. Varför har du så många variabler? Din frågeställning tycks gälla den första av variablerna. Att du får olika resultat beror, som jag ser det, på att det inte är samma fkn U i den övre definitionen som i den undre.

Ursäkta att det blev krångligt! Detta är ett exempel på en termodynamisk funktion jag studerade men det kanske var dumt att ha med så många variabler när frågan endast berörde en av dem.

Det som gör mig lite förvirrad är detta. Låt säga att vi har t.ex. $f=f(g(x))=(x+1)^2$ . Vi hade väl lika gärna kunnat välja att betrakta denna funktion som $f=f(x)=(x+1)^2$ . Här hade vi ju fått samma differential oavsett vilken av dem vi differentierar.

Förvisso, för här har vi samma funktion i båda fallen.(samma punktmängd { (x,f(x)) } i planet). Ibland är det enklast att gå rakt på sak, men om man t ex ska lära ut hur man deriverar en funktion som f så är det nog klokt att tillverka en g(x)=1+x och dela upp f till f(g).

Men om vi skulle ha $U=U(S(T))$ så borde vi väl lika gärna kunna se denna som $U=U(T)$ ? Men beroende på hur man differentierar får man ju olika saker.

Antingen:

$\displaystyle dU=\frac{\partial U}{\partial T}dT$

eller

$\displaystyle dU=\frac{\partial U}{\partial S}\frac{\partial S}{\partial T}dT$

Är båda dessa skrivsätt rätt? Ska man helt enkelt tänka att $\partial U / \partial T$ "innehåller" en kedja så att vi kan göra identifieringen

$\displaystyle \frac{\partial U}{\partial T} = \frac{\partial U}{\partial S}\frac{\partial S}{\partial T}$

U(S(T))=U(T) bara om S(T)=T

Jag ursäktar för att jag är så trög men av någon anledning får jag inte ihop detta i mitt huvud. Då vi hade $f=f(g(x))=(x+1)^2$ kunde vi "förenkla" beroendet till $f=f(x)=(x+1)^2$ , och då får vi rätt differential ändå. Så varför funkar det inte med $U=U(S(T))$ ?

Intuitivt tänker jag att om $f$ beror av $g$ , som i sin tur beror av $x$ , då beror ju $f$ egentligen endast av $x$ .

Tillägg: 10 dec 2025 22:13

EDIT: jag tror att det klickade nu. $\{(x,f(g(x)))\}$ och $\{(x,f(x))\}$ är ju självklart helt olika punktmängder...

Klick är något väldigt fint.

Svara

Visa senaste svar