Hur ska man tolka att R är "Dedekind/Cauchy-complete" geometriskt?

Jag tror du har fog för att känna att det skaver här. När Dedekind pratade om "hål" menade han, om jag inte misstar mig, att det fanns mängder i $\mathbb{Q}$ som inte besatt den s.k. least upper bound property (l.u.b.). Ett exempel är 

$A:=\{x\in\mathbb{Q}: x^2<2\}$.

Det finns gott om över begränsningar $b\in\mathbb{Q}$ sådana att $a<b$ för alla $a\in A$. Men för varje sådant $b$ kan vi hitta en annan övre begränsning $b'$ med $b'<b$. Det finns alltså ingen minsta övre begränsning. Sett som en delmängd av $\mathbb{R}$ hade vi funnit en l.u.b. $\sqrt{2}$.

För det reella talen har varje icke-tom, övre begränsad mängd egenskapen l.u.b. I denna specifika bemärkelse har de reella talen inga "hål". Det går ekvivalent att formulera i termer av Cauchy-sekvenser, och completeness blir då ungefär att varje följd som "borde" konvergera faktiskt konvergerar till ett värde i talmängden.

Så jag tror svaret på frågan är att det med "hål" menas något ganska specifikt, och att det kan finnas andra typer av "hål" som kan vara definierade annorlunda. Tallinjen som intuitivt redskap kan här ha vissa tillkortakommanden.

"Trycker man in" nya element i ett rum, så får man ett nytt rum. Man kan då inte förvänta sig ,att varken ordnings-, topologisk- eller algebraisk struktur bevaras. När du t ex trycker in "hyperreella tal" (vad nu det än är) behöver du alltså också omdefiniera ordningsrelationen om du vill ha någon sådan i det nya rummet. Att det finns plats och att R är sammanhängande är inte problemet. Tänk på att N tagen med sin relativa topologi  (relativt R) är sammanhängande samt på Hotellet med oändligt många rum alla upptagna, men där varje ny gäst fick plats.

Ett enkelt exempel på att Cauchy-fullständghet inte bara handlar om "hål", och att utvidgningar av ett metriskt rum kan förstöra Cauchy-fullständighet är heltalen. Det är en enkel övning att visa att de bildar ett Cauchy-fullständigt rum trots att det finns stora gap mellan talen. Det större rummet av rationella tal är däremot som bekant inte Cauchy-fullständigt.

Det är för övrigt ganska svårt att tänka på de hyperreella talen geometriskt... Så vitt jag kan se finns det t.ex. ingen naturlig metrik, så begreppet Cauchy-fullständigt är inte omedelbart applicerbart.

@oggih, bra poäng ang. #4!

Men vad menar du med "naturlig metrik"? Den "hyperreella tallinjen" används ganska ofta i litteratur på området. Här är ett utdrag från s. 13 av Goldblatts Lectures on the Hyperreals:

Now, the intuitive geometric idea of a line is an ancient one, much olderthan the notion of a set of points, let alone an infinite set. The identificationof a line with the set of points lying on that line is a perspective that belongsto modern times. For Euclid a line was simply "length without breadth", and his diagrams and arguments involved lines with a finite number ofpoints marked on them. By applying the field operations and taking limitsof converging sequences we can assign a point to each real number, but the claim that this exhausts all the points on the line is just that: a claim. One could seek to justify it by invoking a principle such as the one attributedto Eudoxus and Archimedes that any two magnitudes are such that

the less can be multiplied so as to exceed the other

This entails that for each real number $r$ there is an integer $n > r$, and that precludes there being any infinitely large or small numbers in $\mathbb{R}$. But then one could say that the Eudoxus-Archimedes principle is just a property of those points on the line that correspond to "assignable" numbers. The hyperreal point of view is that the geometric line is capable of sustaining a much richer and more intricate number set than the real line.

Det jag menar är att jag inte ser något självklart sätt att göra de hyperreella talen till ett metriskt rum (eller ens ett topologiskt rum), där metriken eller topologn beter beter sig väl med additionen, multiplikationen och ordningsrelationen. Jag ser till exempel inte riktigt hur man ska definiera vad det betyder att en följd av hyperrella tal "konvergerar" mot ett annat hyperreelt tal.

Utan den typen av geometrisk struktur är det svårt att ha någon geometrisk intuition för hur den hyperreella tallinjen förhåller sig till den vanliga reella tallinjen. Som Tomten var inne på i sitt inlägg behöver vi bestämma oss hur vi "rent geometriskt" trycker in alla de extra talen när vi gör utvidgningen.

Det finns kanske ett standardval av metrik eller topologi, men jag är inte tillräckligt väl bevandrad i icke-standardanalys för att ha koll på detta. 

Jag är inte tillräckligt väl inläst för att kunna ge ett svar med rigör, men det är vanligt att man använder den vanliga, euklidiska metriken, t.ex. i Keislers bok.

Det finns ju något som kallas för transfer i modellteorin som också gäller hyperrella tal. Jag tror att det lyder ungefär så här, men jag är inte helt säker på detaljerna,

Varje logiskt uttalande i första ordningens logik där man endast kvantifierar över $\mathbb{R}$ gäller också $\displaystyle \text{*}\mathbb{R}$ och vice versa.

Så det är väl inte helt orimligt att man bara kan sno den vanliga metriken som vi redan är vana vid.

Vad skulle du säga att "avståndet" mellan $0$ och $\varepsilon$ för en infinitesimal $\varepsilon$ är? Eller mellan $0$ och $1/\varepsilon$? (Jämför med kraven som en metrik ska uppfylla.)

En annan fråga att fundera på: Vad ska definitionen av konvergens vara? Konvergerar någon av följderna ${(1/n)_{n=1}^\infty}$ och ${(n^2)_{n=1}^\infty}$ i $*\mathbb{R}$?

Om ja, vad har de för gränsvärde? (Eller kanske rent av gränsvärden, i plural?)

Jag skulle, kanske felaktigt, säga att "avståndet" mellan $0$ och en infinitesimal $\varepsilon$ är $\varepsilon$, och liknande för $0$ och $1/\varepsilon$. Det finns en sats som i viss litteratur kallas för "the extension principle" som säger att varje funktion $f$ i en eller fler reella variabler har exakt en "natural extension" $*f$. Så om vi har metriken $d$ på $\mathbb{R}$ ser jag inte varför vi inte skulle kunna använda dess utvidgning $*d$. Men detta är ganska "handwavy".

Jag vet inte vad jag ska säga om frågan om följder. I en av böckerna jag har läst (Keislers Elementary Calculus) tog han som definition att en följd $(a_n)$ konvergerar till ett reellt tal $L$ om och endast $a_H$ är infinitesimalt nära $L$ för alla hyperheltal $H$. Så den första konvergerar och den andra divergerar. Men detta är ju ett sätt att studera reella följder.

naytte skrev:

Jag skulle, kanske felaktigt, säga att "avståndet" mellan $0$ och en infinitesimal $\varepsilon$ är $\varepsilon$, och liknande för $0$ och $1/\varepsilon$. Det finns en sats som i viss litteratur kallas för "the extension principle" som säger att varje funktion $f$ i en eller fler reella variabler har exakt en "natural extension" $*f$. Så om vi har metriken $d$ på $\mathbb{R}$ ser jag inte varför vi inte skulle kunna använda dess utvidgning $*d$. Men detta är ganska "handwavy".

Problemet är att en metrik enligt definitionen ska vara en realvärd funktion. Ett sätt man kan försöka fixa detta på är att vara "avrunda" till standarddelen och sätta $d(0,\varepsilon)=0$, men då får vi i stället problem med positivitetskriteriet som säger att två distinkta punkter i rummet alltid ska ha positivt avstånd mellan sig.

Du har såklart rätt i att vi inte kan få någon rimlig metrik om målmängden är R. Men det känns inte som ett särskilt stort problem geometriskt. Jag tycker inte att det är något problem att föreställa sig icke-reella avstånd.

naytte skrev:

Du har såklart rätt i att vi inte kan få någon rimlig metrik om målmängden är R. Men det känns inte som ett särskilt stort problem geometriskt. Jag tycker inte att det är något problem att föreställa sig icke-reella avstånd.

Kommer att tänka på denna:

naytte skrev:

Du har såklart rätt i att vi inte kan få någon rimlig metrik om målmängden är R. Men det känns inte som ett särskilt stort problem geometriskt. Jag tycker inte att det är något problem att föreställa sig icke-reella avstånd.

Det är ett bra förslag, men även detta leder till lite märkliga konsekvenser. Till exempel är det svårt att definiera konvergens utifrån detta avståndsbegrepp. Ett naivt försök skulle kunna vara detta:

Definition. En följd $(a_n)_{n=1}^\infty$ av hyperreella tal konvergerar mot ett hyperreellt tal $L$ om det för varje hyperreell radie $r>0$ existerar ett $N\in\mathbb{Z}_{>0}$ sådant att $|a_n-L|<r$ för alla $n>N$.

På vissa sätt är detta ett bra konvergensbegrepp; till exempel kommer varje konvergent följd ha ett unikt gränsvärde. Däremot är ribban för att konvergera väldigt hög med den här definitionen, så många följder som vi intuitivt tänker borde konvergera gör inte det. Till exempel kommer $(1/n)_{n=1}^\infty$ inte att konvergera mot 0 (eller något annat hyperreellt tal heller, för den delen) med den här definitionen, eftersom den aldrig "kommer permanent innanför" radien $r$ runt något tal $L$ om $r$ väljs infinitesimalt.

Hur man än vrider och vänder på det tycker jag det verkar som att man kommer få göra avkall på någon trevlig geometrisk egenskap när man försöker definiera avstånd och/eller konvergens i $*\mathbb{R}$. Infinitesimaler är coolt, men det är som du har märkt genom både ditt gymnasiearbete och dina trådar jäkligt trixigt att få ihop en fullt ut tillfredställande teori runt dem – och det är nog mycket därför som de aldrig helt har slagit igenom inom den moderna matematiken, utan förblivit just "icke standard". Men det är likväl så klart väldigt spännande att fundera på detta ändå, inte minst eftersom infinitesimalerna i högsta grad lever kvar inom vår intuition och vår notation.

Du har kanske rätt i att man inte kan få en lika geometriskt trevlig talmängd i vissa avseenden. De hyperreella talen är ju exempelvis inte arkimediska som de reella talen är.

Vad gäller just analys tror jag däremot att de två metoderna är "ekvivalenta". Tack vare just transfer kan man gå fram och tillbaka mellan $\mathbb{R}$ och $*\mathbb{R}$ i bevisföring och det är ju detta som särskiljer hyperreella tal från alla andra teorier om infinitesimaler. En av motiveringarna till att använda hyperrella tal är ju att studera samma objekt som i reell analys fast från ett annat perspektiv. Så sett kanske det inte är så farligt att man måste göra avkall på en del egenskaper som $\mathbb{R}$ har - man studerar sällan endast $*\mathbb{R}$ ändå!

Just det intuitiva värdet av infinitesimaler får man inte heller underskatta. Jag läser fluiddynamik just nu och livet är vackert när man kan missbruka infinitesimaler istället för att få huvudverk med gränsvärden som inte är så intuitiva i fysikaliska kontexter.