Hur ska man tolka infinitesimaler om det saknas en tillhörande (hyper)yta?

Hej!

Låt $f:\left(D\subseteq\mathbb{R}^{k}\right) \to \mathbb{R}$ för $k\in\mathbb{N}$ vara en funktion med alla egenskaper som krävs för att möjliggöra analysen nedan. Funktionen $f$ definierar en hyperyta

$\displaystyle \mathbb{f}=\{(\mathbf{X},z):\mathbf{X}\in D\;\;\text{och}\;\;z=f(\mathbf{X})\}\subseteq \mathbb{R}^{k+1}$

Studera en punkt $\mathbf{X}_0\in D$ . Tangenthyperplanet till $\mathbb{f}$ i punkten $(\mathbf{X}_0, f(\mathbf{X}_0))$ definieras då som

$\displaystyle T_{\mathbf{X}_0}\mathbb{f}=\{(\mathbf{X},z):\mathbf{X}\in D\;\;\text{och}\;\;z=f(\mathbf{X}_0)+\nabla f(\mathbf{X}_0)\cdot(\mathbf{X}-\mathbf{X}_0)\}$

Låt $d\mathbf{X}\in \mathbb{R}^k$ vara en godtycklig, infinitesimal förflyttningsvektor. Om vi translaterar $\mathbf{X}_0 \to \mathbf{X}_0+d\mathbf{X}$ , då förändras värdet i tangenthyperplanet generellt med

$\displaystyle df(\mathbf{X}_0,d\mathbf{X})=\nabla f(\mathbf{X}_0)\cdot d\mathbf{X}$

$df$ är alltså inte förändringen i värdet på $f$ då vi translaterar de oberoende koordinaterna med $d\mathbf{X}$ , utan det är förändringen längs tangenthyperplanet till funktionens yta. Det gäller dock att dessa storheter ( $df$ och den äkta förändringen i $f$ ) är infinitesimalt nära varandra, så man kan lika gärna räkna med $df$ . I fysiken stöter vi ofta på situationer när vi direkt kan tillämpa denna geometriska intuition: t.ex. i termodynamiken där man kan tolka t.ex. $dU$ eller $dS$ som förändringar längs tangenthyperplan till tillståndsytor.

Emellertid finns det situationer, t.ex. inom mekaniken, där jag inte tror att det går att använda samma geometriska resonemang. Exempelvis beräknas arbetet som uträttas på en partikel under en infinitesimal förflyttning $d\mathbf{r}$ som

$\displaystyle dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$

Förutom i det fall då $\mathbf{F}$ satisfierar väldigt speciella villkor finns det ingen "arbetshyperyta", så $dW$ kan inte tolkas som en infinitesimal approximation till ett "äkta" arbete. Med grund i ovanstående observation har jag insett att jag faktiskt inte förstår vad $dW$ ens är för något, så därför vänder jag mig hit: hur ska man matematiskt tolka dessa infinitesimaler i de fall då det saknas någon ihophörande yta?

Jag vet inte hur man skulle kunna tolka det geometriskt, men rent matematiskt betyder det väl bara att

$W_r - W_{r_0} \approx F(r-r_0)$ ,

dvs. att en förändring i W kan approximeras med F gånger förändringen i r. Med andra ord så gäller att

$\Delta W = F\Delta r + o(|r|)$ .

Detta är på samma sätt som derivata kan förstås som en linjär approximering. Ovan ekvation är en av definitionerna av differentierbarhet.

Det går också att se det som en identitet av differentialformer. En 1-form är en funktion som för varje $x\in U\subset M$ tilldelar en funktion $f_x:T_x(M)\to \mathbb{R}$ . Det enklaste exemplet är väl $M=\mathbb{R}^3$ .

Jag tror inte att din första tolkning fungerar för det finns ingen funktion $W(\mathbf{r})$ . Det är detta jag menar med att det inte finns någon ”arbetsyta”. Det finns inget ”äkta” arbete att approximera, såvitt jag förstår.

Utan att tydligen förstå vad arbete är: tänk dig att man drar en kloss mellan två punkter över ett bord med friktion. Det krävs ju mer arbete att dra den en längre bana även om ändpunkterna är desamma. Man brukar säga att arbete är en vägfunktion eftersom det beror på vägen.

Ja, det är riktigt. Istället för att se det som skillnaden i arbete mellan två punkter får man då se det som att man ger 1-formen en tangentvektor.

Om vi befinner oss i en punkt r längs en parametriserad kurva h(t), och har hastigheten h'(t), så har vi en infinitesimal förändring i position (en tangentvektor)

$\Delta r = h'(t)\Delta t$ .

Påståendet dW = Fdr säger nu att 1-formen dW är bestämd genom hur den evaluerar tangentvektorer via

$dW(\Delta r) = F(\Delta r)$ .

Behöver man verkligen differentialgeometri för att förstå detta? Det verkar skumt att man helt plötsligt skulle behöva dra in något som är så förhållendevis komplicerat.

Svara

Visa senaste svar