Hur ska man tolka infinitesimaler om det saknas en tillhörande (hyper)yta?

Hej!

Låt $f:\left(D\subseteq\mathbb{R}^{k}\right) \to \mathbb{R}$ för $k\in\mathbb{N}$ vara en funktion med alla egenskaper som krävs för att möjliggöra analysen nedan. Funktionen $f$ definierar en hyperyta

$\displaystyle \mathbb{f}=\{(\mathbf{X},z):\mathbf{X}\in D\;\;\text{och}\;\;z=f(\mathbf{X})\}\subseteq \mathbb{R}^{k+1}$

Studera en punkt $\mathbf{X}_0\in D$. Tangenthyperplanet till $\mathbb{f}$ i punkten $(\mathbf{X}_0, f(\mathbf{X}_0))$ definieras då som

$\displaystyle T_{\mathbf{X}_0}\mathbb{f}=\{(\mathbf{X},z):\mathbf{X}\in D\;\;\text{och}\;\;z=f(\mathbf{X}_0)+\nabla f(\mathbf{X}_0)\cdot(\mathbf{X}-\mathbf{X}_0)\}$

Låt $d\mathbf{X}\in \mathbb{R}^k$ vara en godtycklig, infinitesimal förflyttningsvektor. Om vi translaterar $\mathbf{X}_0 \to \mathbf{X}_0+d\mathbf{X}$, då förändras värdet i tangenthyperplanet generellt med

$\displaystyle df(\mathbf{X}_0,d\mathbf{X})=\nabla f(\mathbf{X}_0)\cdot d\mathbf{X}$

$df$ är alltså inte förändringen i värdet på $f$ då vi translaterar de oberoende koordinaterna med $d\mathbf{X}$, utan det är förändringen längs tangenthyperplanet till funktionens yta. Det gäller dock att dessa storheter ($df$ och den äkta förändringen i $f$) är infinitesimalt nära varandra, så man kan lika gärna räkna med $df$. I fysiken stöter vi ofta på situationer när vi direkt kan tillämpa denna geometriska intuition: t.ex. i termodynamiken där man kan tolka t.ex. $dU$ eller $dS$ som förändringar längs tangenthyperplan till tillståndsytor.

Emellertid finns det situationer, t.ex. inom mekaniken, där jag inte tror att det går att använda samma geometriska resonemang. Exempelvis beräknas arbetet som uträttas på en partikel under en infinitesimal förflyttning $d\mathbf{r}$ som

$\displaystyle dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$

Förutom i det fall då $\mathbf{F}$ satisfierar väldigt speciella villkor finns det ingen "arbetshyperyta", så $dW$ kan inte tolkas som en infinitesimal approximation till ett "äkta" arbete. Med grund i ovanstående observation har jag insett att jag faktiskt inte förstår vad $dW$ ens är för något, så därför vänder jag mig hit: hur ska man matematiskt tolka dessa infinitesimaler i de fall då det saknas någon ihophörande yta?