6 svar
129 visningar
naytte 3492
Postad: 29 dec 2023 00:49 Redigerad: 29 dec 2023 00:49

Hur ska man tolka "painter's paradox"?

God väldigt tidig morgon, Pluggakuten!

Jag har tittat mycket på rotationsvolymer och integraler på senaste och häromdagen stötte jag på "the painter's paradox". Den lyder ungefär så här:

Antag att kurvan y=1x\displaystyle y=\frac{1}{x} roteras ett varv runt x-axeln i intervallet [1,)[1, \infty) och skapar en rotationsvolym. Denna volym kommer att vara ändlig och motsvara exakt π\pi volymenheter. Trumpetens mantelarea kommer dock vara oändligt stor. Man kommer alltså kunna fylla trumpeten med färg men aldrig kunna färglägga hela dess mantelarea.

Jag har förbryllats över denna paradox sedan jag stötte på den (i förrgår) och kan inte greppa det. Och det är väl därför det kallas för en paradox. Rent abstrakt förstår jag den bakomliggande matematiken och kan följa den utan problem. Men resultatet framstår som en motsägelse.

Om man kan fylla hela trumpeten med färg, då borde man väl samtidigt fylla hela arean på insidan, dvs. täcka en area som är lika stor som mantelarean? Men båda är ju oändligt stora. Jag misstänker att det är något fundamentalt fel i hur jag tänker kring problemet. Några bra insikter skulle uppskattas!

Dr. G 9218
Postad: 29 dec 2023 10:16

En burk färg kan täcka en hur stor yta som helst, så länge lagret är tillräckligt tunt. 

En stor sfär med radie R kan målas med knappt någon färg alls om tjockleken på färgagret är proportionellt mot 1/R3.

naytte 3492
Postad: 29 dec 2023 13:34

Ja okej, så om färglagret blir "oändligt tunnt" kommer man kunna färglägga trumpeten?

farfarMats 1018
Postad: 29 dec 2023 16:51 Redigerad: 29 dec 2023 16:52

Precis - t.ex. om färglagret tunnas som 1/x,  men inget lager med konstant tjocklek

Smutstvätt 23356 – Moderator
Postad: 29 dec 2023 17:10 Redigerad: 29 dec 2023 17:11

Fast vänta, nej? Det är väl det som är grejen med paradoxen? Att arean växer okontrollerat, medan volymen inte gör det? 

På samma sätt finns det väl Gabriels horn eller vad det heter, som har oändlig volym men ändlig area. Samma paradox fast tvärtom*. 

*En paradox för alla som inte någon gång har hört en vuvuzela, vars area är ändlig men vars volym är oändlig. 😅

naytte 3492
Postad: 29 dec 2023 19:03

På samma sätt finns det väl Gabriels horn eller vad det heter, som har oändlig volym men ändlig area. Samma paradox fast tvärtom

Det är "Gabriel's horn" som Painter's paradox behandlar. 

Smutstvätt 23356 – Moderator
Postad: 29 dec 2023 21:43
naytte skrev:

På samma sätt finns det väl Gabriels horn eller vad det heter, som har oändlig volym men ändlig area. Samma paradox fast tvärtom

Det är "Gabriel's horn" som Painter's paradox behandlar. 

Attans, så kan det gå när Smutstvätt inte tänker ordentligt 😅. Jag hade för mig att det fanns en variant med oändlig volym och ändlig area, men det verkar som att jag minns fel – det göms mycket i hjärnans vrår, inte allt korrekt dessvärre.

Svara Avbryt
Close