Hur ska vi tolka uttryck som "f(x+h)" (och derivator) formellt sett?

naytte skrev:

Jag försöker tolka (utan att det nödvändigtvis har någon grund i teorin) det som "det unika $y$-värde som hör ihop med $x+h$", men det finns väl ingen garanti att $x+h$ ens ligger i funktionens domän?

Det stämmer. Betänk funktionen $f\left(x\right)=\sqrt{-x}$. Försöker du ta ut derivatan då x=0 så kommer x+h falla utom funktionens definitionsmängd.

Om man tar derivatan av en funktion så behöver det inte vara att funktionens derivata blir en funktion. För f(x)= |x| så har vi en funktion som är definierad över alla reella tal. Försöker vi derivera den så får vi problem i nollan eftersom att derivatan baklänges blir olika från derivatan framlänges, så den nya funktionen f'(x) har egenskapen att den associerar samman både (0,-1) och (0,1). Detta är ju inte gångbart så därför omdefinierar man den definitionsmängd man har för f'(x) så att vi bara skall få att varje x-värde leder till ett (1) y-värde.

Det vi gör då vi deriverar är att utgå från att funktionen har nog med kontinuitet i indatavärden att vi får ut någonting meningsfullt då vi utför den matematiska operationen, för att annars är inte lim h->0 meningsfullt. Så skall du tolka det som en mängdoperation så tror jag att man måste ta med förbehållet att vi har kontinuitet i indatamängden.

Frågan är om det är meningsfullt att överföra derivatans definition till den allmänna definitionen av en funktion (den som du nämner ovan och som vi har diskuterat i en tidigare tråd). Försöker man skriva "f(x+h)" i den allmänna deffen så behöver det ju inte ens finnas något "x+h", eftersom både domän och målområde kan vara mängder utan vare sig algebraisk eller annan struktur. I måtteorin finns dock en derivation av "ett mått med avseende på ett annat mått", där man i stället för algebraisk struktur använder sig av "well behaved sets". Har likväl svårt att tro att det allmanna funktionsbegreppet skulle vara hjälpsamt ens i den situationen.

@Tomten,

jag tänker att vi har någon typ av funktion som vi kan derivera. Vi kan utgå från t.ex. reellvärda funktioner för att göra livet enklare. Det jag vill försöka förstå är hur man skulle kunna skriva om derivatans definition i termer av någon typ av mängd. På något sätt vill jag kunna visa för mig själv att vi förbehållsfritt kan byta mellan "synsätten" $y=f(x)$ och att betrakta $f$ som en mängd. Det senare är nytt för mig.

Säg att vi arbetar med funktionen:

$\displaystyle F:=\left\{ (x,x^2 ):x\in\mathbb{R} \right\}$

och låt $F'_a$ beteckna derivatan av $F$ "i punkten $x=a$". 

Förutsatt att $\displaystyle \exists\varepsilon>0:(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\subseteq U$ tänker jag mig då:

$\displaystyle F'_a:= \left\{ \left(a, \lim_{h \to 0}\frac{F(a+h)-F(a)}{h} \right) : h\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon) \right\}$

Men det är fortfarande rätt mystiskt vad "$F(a+h)$" är. Jag kan acceptera vad $F(x)$ är men det är lite konstigare att tolka $F(a+h)$.

Tillägg: 2 maj 2025 17:42

Ah, vi bestämmer att för alla (x,y)\in F: y=: F(x) så då. x=a+h får vi något annat ihophörande y. Det är väl OK då.

Det behövs nog något mer krav förutom var h ligger, kanske att gränsvärdet existerar och har ert ändligt värde.

För att en funktion $f$ ska vara deriverbar I någon punkt $p$ behövs att ett öppet område $(a, b)\ni p$, där $a<p<b$, ingår i $f$:s domän. Vi kan då bilda funktionen

$g_p(h) =\frac{f(p+h) - f(p)} {h}$

som är definierad för alla $h\in (a-p, 0)\cup(0,b-p)=:D$.

Om

$\lim_{h\to 0} g_p(h)$

existerar och är lika med $L$ innebär det att det för varje $\varepsilon>0$ finns ett $\delta>0$ sådant att det för alla $h\in D$ gäller att

$|h|<\delta\implies |g_p(h) - L|<\epsilon$.

Vet inte om detta är till någon hjälp?

Hmm, jo det är det nog.

Det jag vill göra är alltså att konstruera begreppet ”derivata” fast som en ”mängdoperation” (vilket måste gå!). Saknar dator just nu så kan inte skriva ordentligt.

Jag vet inte varför jag blir så störd av dessa två olika synsätt - att se funktionen antingen som en ”regel” (vad i hela friden det nu innebär egentligen) och som en mängd med särskilda egenskaper.

Ju mer matematik jag lär mig, desto mer känns det som att skolan har bedragit mig. Det visar sig att jättemycket man har lärt sig är halvsanningar 🙁

Kanske följande är till någon hjälp?

Säg att vi har en funktion $f\subset\mathbb{R}^2$.

För två punkter $(x_1,y_1)$ och $(x_2,y_2)$ i $f$ med $x_1\neq x_2$,  låt

$g(x_1,x_2,y_1,y_2)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Låt nu $(x, y)$ vara en godtycklig punkt i $f$.

Om det finns något $L\in\mathbb{R}$ sådant att det för varje följd $\{(x_n, y_n)\}_{n\in\mathbb{N}} \subset f\setminus \{(x, y)\}$ sådan att

$\lim_{n\to\infty} x_n = x$

gäller att $\lim_{n\to \infty} g(x_n, x, y_n, y) = L$,

då definierar vi derivatan av $f$ i punkten $x$ som talet $L$.

Vi kan sedan definiera funktionen

$\{(x, y)\subset\mathbb{R} ^2 : x\in \mathrm{dom} f\land y \text{ är derivatan av } f \text{ i punkten } x\}$.

Tillägg: 3 maj 2025 15:54

Kom ihåg att axiom schema of restricted comprehension/axiom schema of specification tillåter oss att för varje mängd $M$ och varje formel $\varphi$ bilda delmängden av $M$ som satisfierar $\varphi$:

$\{x\in M : \varphi(x) \}$.

Tillägg: 3 maj 2025 16:21

Vi behöver också anta att $f$ är definierad I någon öppen omgivning av $x$.

Hmm.

Det känns som om det borde finnas ett enklare sätt att göra det här på. Det måste finnas något sätt att översätta "f'(x) = lim_{h\to 0}..." "direkt" till en mängd. Efter vidare funderingar tänker jag mig för en funktion $f: D_f \to \mathbb{R}$ definierad enligt:

$\displaystyle f=\{ (x,y)\in D_f\times \mathbb{R}: \text{något fint krav på }y \}$

att:

$\displaystyle f':=\{ \left(x,z\right)\in D_f\times \mathbb{R}:\exists h>0\;\text{sådant att }\left(x-h,x+h\right)\subseteq D_f\;\text{och }$

$\displaystyle \left(x+h,f\left(x+h\right)\right),\left(x,f\left(x\right)\right)\in f\;\text{och}\; z=\lim_{h \to 0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\}$

Tillägg: 7 maj 2025 00:37

"f(x+h)" och "f(x)" är ju notation som förenklar livet för oss människor men mängden "vet" ju ingenting om vad "f(x)" eller "f(x+h)" betyder, så det är därför jag tar med att (x+h, f(x+h)) osv. ska ligga i f trots att vi redan har sagt att (x-h, x+h) ligger i domänen. Vet inte om det är nödvändigt.

Jag som tyckte min definition var enkel och finurlig! Jag tycker vi säger ungefär samma sak: jag definierar derivatan av en funktion i en punkt som gränsvärdet av differenskvoten om det existerar. Sedan definierar jag derivatan som funktion som alla (x, y) för vilka derivatan i x  existerar och är lika med y.

Jag håller med om att vi verkar ha skrivit samma sak på olika sätt, men jag undrar mest om sättet jag har skrivit det på är OK. The devil's in the details, så att säga.

Jag är med på ditt skrivsätt och jag tycker också det verkar rimligt, om än något komplicerat.

Jag har bara skummat dessa esoteriska texter, men en fråga jag ställer mig

Är inte f(x+h) en funktion av två variabler?

Jag vet inte om det påverkar resonemangen. Take it or leave it.

$f(x+h)$ i sammanhanget $(x+h,f(x+h))$ är bara ett objekt ur $\mathbb{R}$, alltså ett tal.

Ja, ett tal som bestäms av x och h.

Så brukar det väl vara med funktioner av två variabler

z(x, y) = 2x+y³

Stoppa in x och y så får du ut talet z.

y(x) = x²

är en funktion från x till y

y(x+h) = x² + 2xh + h²

stoppa in x och h så får du ut ett tal y.

Detta kanske är ett blindspår, strunta i det isåfall.

Jag tycker notationen med y är bekvämare än f(x) här.

y är en funktion av x,

y(x) = f(x)

Grafen tänker vi oss som en kurva i planet. En x-axel, en y-axel.

Nu bildar vi funktionen y(x+h)

Då får vi tänka nytt. En x-axel och en h-axel.

För att åskådliggöra detta riktar vi y-axeln rakt upp i zenith. Varje punkt (x, h) i planet avbildas på en viss höjd över planet. Det blir en duk som svävar över (eller föralldel, under) xh-planet.

Den ursprungliga kurvan y(x) återfinns som en stig rakt över x-axeln. När h närmar sig noll, så närmar sig höjden av duken stigens höjd.

Nu väver jag en ny duk. Här ges höjden över xh-planet av värdet på [y(x+h)–y(x)]/h.

Den duken har en reva längs h = 0, värdet är inte definierat. Men om duken inte har konstiga veck eller piggar så kommer det att finnas ett gränsvärde som gör att revan knappast syns. Det gränsvärdet kallar vi derivatan y’(x).

Som sagt, detta kanske inte alls är givande i diskussionen, då kan det lämnas därhän.

Anm Ett sätt att komma ifrån flervariabeltänket kanske är att endast betrakta f(x+h) i fixerade x. Vi studerar differenskvoterna f(2+h), f(3+h) osv, och generaliserar till f(x₀ + h), varefter vi ur de uppkomna gränsvärdena kan skapa en ny funktion f’(x).

I den strikta bemärkelsen (och den jag vill använda här) är $f(x)$ och likartade symboler inte funktioner i sig utan ett sätt att relatera elementen i funktionens värdepar till varandra (om jag har förstått det rätt). 

Okej, nu har jag ett lite mer förfinat försök:

Låt $f$ vara en funktion $D_f \to \mathbb{R}$. Antag att det finns något $\varepsilon > 0$ sådant att $\left(a-\varepsilon, a+\varepsilon\right) \subseteq D_f$ för något $a\in D_f$. Vi definierar nu derivatan i $a$ som:

$\displaystyle f':=\left\{ \left(a,z\right)\in D_f\times \mathbb{R}| \forall h\in \left(-\varepsilon,\varepsilon\right):\left(a,f\left(a\right)\right),\left(a+h,f\left(a+h\right)\right)\in f \wedge z=\lim_{h \to 0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}\right\}$

Det verkar följa implicit att om $z$ inte existerar (dvs. gränsvärdet existerar inte) existerar inte heller $f'$, så vi måste nog inte säga något explicit om att $z$ ska existera.

Vi testar på ett exempel:

$g:=\{ (x,x^2):x\in\mathbb{R} \}$

Vi börjar med att bekräfta att det finns ett $\varepsilon > 0$ sådant att $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)\subseteq \mathbb{R}$, t.ex. $\varepsilon = 1$.

$\displaystyle g'=\{ \left(a,z\right)\in \mathbb{R}^2|\forall h\in\left(-1,1\right):\left(a,a^2\right),\left(a+h,\left(a+h\right)^2\right)\in g\wedge z=\lim_{h \to 0}\frac{\left(a+h\right)^2-a^2}{h} \}$

Den enda mängden som uppfyller detta är givetvis $g' = \{(a,2a): a\in\mathbb{R}\}$.

Men jag vet inte om något av det jag skriver mejkar sense alls. Jag förvirrar bara mig själv vid det här laget.

Gustor skrev:

Jag som tyckte min definition var enkel och finurlig! Jag tycker vi säger ungefär samma sak: jag definierar derivatan av en funktion i en punkt som gränsvärdet av differenskvoten om det existerar. Sedan definierar jag derivatan som funktion som alla (x, y) för vilka derivatan i x  existerar och är lika med y.

Jag tror jag instämmer med Gustor. 

Om vi har en funktion x —> f(x) så kan vi välja ett fixt a bland x:en.

I så fall har även f(a+h) mening så länge a+h tillhör definitionsmängden.

Huruvida [f(a+h)–f(a)]/h har ett gränsvärde när h går mot noll är ju inte en fråga om mängder. Om så är fallet kallar vi gränsvärdet för G(a).

Det innebär att vi får en funktion x —> G(x) för de x där gränsvärdet är definierat.

Nu byter vi namn och kallar G(x) för derivatan f’(x).

Allt detta tror jag du, naytte, förstår minst lika bra som jag. Men vad du stör dig på, det förstår inte jag. För mig blir det inte tydligare av att du omsorgsfullt skriver ut definitionerna i detalj med epsilon och hundra symboler. Jag har sett dem förut. Jag föreslår att du i ord formulerar var det skaver.

Det som irriterade mig lite var just bruket av funktionsnotationen $g(...)$. Det kan vi ju dock på vidare eftertanke komma runt väldigt enkelt.

Efter att ha läst igenom Gustors förslag en gång till och smakat lite på den håller jag med om att det är ett väldigt snyggt sätt att göra det på!

Däremot måste det också gå att definiera detta som en funktion med derivatans h-definition, men det är ett problem för morgondagen.

Att

$\lim_{x\to a} f(x) = L$

är ekvivalent med att det för varje följd $(x_n)$ sådan att $x_i\in D_f\setminus\{a\}$ för alla $i$ och sådan att

$\lim_{n\to\infty} x_n = a$

gäller att $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = L$.

Detta använder jag för att skriva om gränsvärdet av differenskvoten till ett villkor om följder.

När du skriver $z=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)} {h}$ så är det implicit att

1) $\frac{f(x+h) - f(x)} {h}$ är en funktion av $h$ definierad på någon mängd  $(a, 0) \cup (0, b)$, $a<b$ (annars makear inte limes-symbolen någon sense), och 

2) att gränsvärdet existerar.

Det första villkoret innebär att vi måste ha $x+h\in D_f$ för alla $h\in (a, 0)\cup(0,b)$, så att funktionen är definierad, vilket betyder att $(x-a, x+a) \in D_f$. Notera att $x\in D_f$ eftersom $f(x)$ ingår i uttrycket för differenskvoten.

Att gränsvärdet existerar är enligt ovan ekvivalent med mitt villkor om följder från mitt tidigare inlägg.

Därför tror jag inte man kommer undan med något till synes enklare. Vi säger i princip samma sak du och jag, naytte.

Åtminstone tror jag det.

Angående din funktion $g$, hur formaliserar man flera ingångsvariabler mängdteoretiskt? Stoppar man bara helt enkelt in fler element i de ordnade listorna?

$\displaystyle g:=\{ (x_1,y_1,x_2,y_2,z)\in D_f^4\times \mathbb{R}:z=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \}$

Om vi definierar en funktion $f$ av en variabel som en viss typ av mängd ordnade par $(x, y)$ så är det nog inte krångligare än att vi väljer $X$ till att vara den kartesiska produkten av, säg $X_1,\dots,X_n$, och på så sätt får ett $y$ för varje ordnad tupel $(x_1,\dots,x_n)$. Att det är en funktion av en variabel eller av flera beror på hur vi väljer att se på det: är $(x_1,\dots,x_n)$ ett element i produktmängden, eller ser vi det som en lista av n element.

Vill man ha flera värden som "output" kan man tänka sig samma sak med $Y$.

För reellvärda envariabelfunktioner kanske man kan göra såhär (men jag vet inte om jag tycker det är enklare eller bättre och det kanske finns något problem som jag inte tänkt på)

Skillnaden mellan två funktioner f och g definieras som

$f - g =\hspace{0.17em}\left\{\right(x,y-z\left)\right|(x,y)\in f, (x,z)\in g\}$

En funktion som är en rät linje genom punkten (a, b) med lutning k är

$L(a,b,k) =\hspace{0.17em}\left\{\right(x,y\left)\right|y=k(x-a)+b\}$

Nu kan vi definiera villkor som är om linjen ligger över/under linjen till höger/vänster i en liten omgivning till punkten (a,b) (avstånd högst d > 0 i x-led från punken)

$$\begin{gathered} ÖH(f,a,b,k,d)=\left(L\right(a,b,k)-f)\cap (a,a+d)\times (-\infty ,0]\}=\varnothing \\ UH(f,a,b,k,d)=(L(a,b,k)-f)\cap (a,a+d)\times [0,\infty \left)\right\}=\varnothing \\ ÖV(f,a,b,k,d)=\left(L\right(a,b,k)-f)\cap (a-d,a)\times (-\infty ,0]\}=\varnothing \\ UV(f,a,b,k,d)=(L(a,b,k)-f)\cap (a-d,a)\times [0,\infty \left)\right\}=\varnothing \end{gathered}$$

Då kan vi definiera om linjen med lutning k är lokalt brantare (för stort k) eller flackare (för litet k) än funktionen

$$\begin{gathered} LB(f,a,b)=\left\{k\right|\exists d>0:ÖH(f,a,b,k,d) och UV(f,a,b,k,d)\left\} \\ LF\right(f,a,b)=\{k|\exists d>0:UH(f,a,b,k,d) och ÖV(f,a,b,k,d\left)\right\} \end{gathered}$$

Om $inf LB(f,a,b) =\hspace{0.17em}sup LF(f,a,b)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}k$så är f deriverbar i (a,b) och f'(a,b)=k så

$f\text{'}=\left\{\right(a,k\left)\right|inf LB(f,a,b)=sup LF(f,a,b)=k\}$