Hur skapar man en ekvation/uttryck för en talföljd?

Vad menar du för typ av följd? Menar du exempelvis:

2,3,5,8,12,17,...

?

Just det haha! Hade tänkt skriva ett exempel men glömde det helt och hållet! men ja, det var ungefär en sådan jag hade i åtanke :)

Just den följden jag skrev går ju att beskriva ganska enkelt rekursivt:

$a_{n+1} = a_n+n$

med $a_1 = 2$.

Eller annorlunda skrivet:

$a_{n+1}-a_n = n$

Detta kallas för en differensekvation och har enligt en fin sats vars namn jag inte kommer ihåg lösningen:

$\displaystyle a_n=\left(-a\right)^na_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(-a\right)^{n-1-k}k = 2+\frac{n\left(n-1\right)}{2}$

Hur man däremot ska komma fram till detta i nians matematik har jag ingen aning om. Är du säker på att denna typen av följder ingår överhuvudtaget?

Tillägg: 12 maj 2025 16:29

Jag antar att man skulle kunna testa sig fram genom att ansätta olika former på $a_n$ tills något fungerar?

Är du säker på att denna typen av följder ingår överhuvudtaget?

'Det e det jag är lite osäker på, Har sett vissa i nian på forumet publicerar trådar med sådana frågor, men minns inte hur man löser sådana uppgifter. Då får jag bara hålla tummarna att det inte kommer på NP :)

Men vad i i hela friden är den uträkningen jag pratade om? var i matten används den? för jag vet att jag har sett folk använda den, men vet varken stegen efter eller i vilken typ av uträkning man använder den metoden i. Har du någon aning om vad det kan vara utifrån min hemska förklaring? Det ä verkligen så lite jag minns om den uppgiften haha. 

Det du pratar om är ett klassiskt knep om man ska summera t.ex. de första $n$ räknetalen:

$S_n=1+2+3+...+n$

Då inser man att $n+1 = n-1+2 = n-2+3 ...$ och kommer fram till:

$\displaystyle S_n=\frac{n(n+1)}{2}$

Det sägs att Gauß kom fram till detta redan i grundskolan då hans lärare bad hela hans klass att beräkna summan av de första hundra räknetalen.

naytte skrev:

Det du pratar om är ett klassiskt knep om man ska summera t.ex. de första $n$ naturliga talen:

$S_n=1+2+3+...+n$

Då inser man att $n+1 = n-1+2 = n-2+3 ...$ och kommer fram till:

$\displaystyle S_n=\frac{n(n-1)}{2}$

Det sägs att Gauß kom fram till detta redan i grundskolan då hans lärare bad hela hans klass att beräkna summan av de första hundra räknetalen.

Jag kommer ej ihåg historien i detalj men insåg han inte bara att

a_n = (n^2-n)/2+n

genom att studera en kvadrat med sidan n?

Så som jag har hört historien (det kan ju givetvis vara en dramatisering eller rentav felaktigt) så insåg han detta då han skulle beräkna summan av de $n$ första räknetalen. Här från tyska Wikipediasidan:

Nach einer Erzählung von Wolfgang Sartorius von Waltershausen fiel das mathematische Talent des kleinen Carl Friedrich auf, als er nach zwei Jahren Elementarunterricht in die Rechenklasse der Catherinen-Volksschule kam:

Dort pflegte der Lehrer Büttner seine Schüler mit längeren Rechenaufgaben zu beschäftigen, während er mit einer Karbatsche in der Hand auf und ab ging. Eine Aufgabe war die Summation einer arithmetischen Reihe; wer fertig war, legte seine Tafel mit den Rechnungen für die Lösung auf das Pult. Mit den Worten „ligget se“ in Braunschweiger Plattdeutsch legte der neunjährige Gauß verblüffend rasch seine auf den Tisch, die nur eine einzige Zahl trug. Nachdem Gauß’ außergewöhnliche Begabung erkannt worden war, beschaffte man zunächst ein anderes Rechenbuch aus Hamburg, bevor der Assistent Martin Bartels brauchbare mathematische Bücher zum gemeinsamen Studium besorgte und dafür sorgte, dass Gauß 1788 das Martino-Katharineum Braunschweig besuchen konnte.[4][5]

Das elegante Verfahren, mit dem „der kleine Gauß“ die Lösung so rasch im Kopf errechnete, wird heute Gaußsche Summenformel genannt. Um die Summe einer arithmetischen Reihe, beispielsweise der natürlichen Zahlen von 1 bis 100, zu berechnen, werden hierbei Paare gleicher Teilsumme gebildet, zum Beispiel 50 Paare mit der Summe 101 (1 + 100, 2 + 99, …, 50 + 51), womit 5050 als Ergebnis rasch zu erhalten ist.

naytte skrev:

Det du pratar om är ett klassiskt knep om man ska summera t.ex. de första $n$ räknetalen:

$S_n=1+2+3+...+n$

Då inser man att $n+1 = n-1+2 = n-2+3 ...$ och kommer fram till:

$\displaystyle S_n=\frac{n(n-1)}{2}$

Det sägs att Gauß kom fram till detta redan i grundskolan då hans lärare bad hela hans klass att beräkna summan av de första hundra räknetalen.

ok, jag förstår det på första raden, men inte riktigt hur man tillslut kommer till det uttrycket. Inte för att ag behöver förstå det, men fortfarande. Är det genom att konstant förenkla? Jag menar, när man väl har adderat alla tal i den ordningen som:

Då inser man att n+1=n-1+2=n-2+3...

Då kommer det ju fortfarande finnas flera additioner, fast bara inte lika många, ska man göra om samma procedur igen? och hur kommer dividerat med 2 in? 

KlmJan skrev:

naytte skrev:

Det du pratar om är ett klassiskt knep om man ska summera t.ex. de första $n$ räknetalen:

$S_n=1+2+3+...+n$

Då inser man att $n+1 = n-1+2 = n-2+3 ...$ och kommer fram till:

$\displaystyle S_n=\frac{n(n-1)}{2}$

Det sägs att Gauß kom fram till detta redan i grundskolan då hans lärare bad hela hans klass att beräkna summan av de första hundra räknetalen.

ok, jag förstår det på första raden, men inte riktigt hur man tillslut kommer till det uttrycket. Inte för att ag behöver förstå det, men fortfarande. Är det genom att konstant förenkla? Jag menar, när man väl har adderat alla tal i den ordningen som:

Då inser man att n+1=n-1+2=n-2+3...

Då kommer det ju fortfarande finnas flera additioner, fast bara inte lika många, ska man göra om samma procedur igen? och hur kommer dividerat med 2 in? 

Jag tror naytte var lite snabb, det skall vara n(n+1)/2

Börja med att n är jämt, det är enklare.

Vi har talen

1, 2, 3, 4, ....., n

som är ett jämnt antal.

De n/2 första talen är lika många som de n/2 sista talen.

Talen summerar parvis från ytterkanterna till den konstanta summa 1+n = 2+n-1 = 3+n-2 = 

Vi har n/2 sådana par och får totalsumman n/2 * (1+n).

Försök gör samma sak om n är udda. Börja med att ta bort det mittersta talet. De återstående talen är ett jämnt antal och bildar parvisa konstanta summor som ovan. Hur kompenserar du det borttagna mitt-talet?

De n/2 första talen är lika många som de n/2 sista talen.

Håller på och klurar på det just nu. Men bara en liten fråga. Med detta du skrev, menar du alltså att summan av talen i första halvan av talföljden är lika med summan av andra halvan av talföljden?

KlmJan skrev:

De n/2 första talen är lika många som de n/2 sista talen.

Håller på och klurar på det just nu. Men bara en liten fråga. Med detta du skrev, menar du alltså att summan av talen i första halvan av talföljden är lika med summan av andra halvan av talföljden?

Nej, tänk dig om du tar det första talet i den första halvan, $1$, och det sista talet i den andra halvan, $n$. Summera ihop dem så får du $n+1$.

Tag sedan det andra talet i första halvan, $2$, och det näst sista talet i den andra halvan, $n-1$. Summera ihop dem så får du.. $n+1$. 

Sedan det tredje talet i första halvan, $3$, och näst näst sista i andra halvan, $n-2$, med summan $n+1$. Osv

Eftersom $n$ är jämnt kommer detta ske $n/2$ gånger. 

Totalt får du då $n/2$ st $n+1$.

Då blir summan $\displaystyle \frac n2 \left(n+1\right) = \frac{n(n+1)}2$

Jag var lite väl snabb, menade naturligtvis + i parantesen.

ahaaa, nu tror jag att jag har fattat. Man får liksom skapa en inre bild så förstår man :) 

Men när man då har räknat ut summan av alla tal, är det då man applicerar detta i ett annat uttryck? 

Minns itne exakt vad uttrycket var, men något i stil med 

S₁ = $\frac{(a_1+a_{n })}{2}$

eller är det samma som

 n(n+1)/2?

Försök gör samma sak om n är udda. Börja med att ta bort det mittersta talet. De återstående talen är ett jämnt antal och bildar parvisa konstanta summor som ovan. Hur kompenserar du det borttagna mitt-talet?

Jag kommer faktiskt inte fram till något rimligt svar... 

Det blir alltså en (n+1) över om jag förstått det rätt.

Kanske att summan man får när man har tagit bort den mittersta och gjort uträkningen enligt $\frac{n(n+1)}{2}$

ska adderas med (n+1) som vi tog bort en gång och sedan dividera på 2. Men detta känns enligt mig lite orimligt och är egentligen en vild gissning jag dragit genom att tänka hur man gör när man har 2 värden i medianen, adderar dem och dividerar på 2 för att få medianen. Vet dock att det är en helt annan grej och att det förmodligen är helt irrelevant för detta. Men det var det enda jag kunde tänka på. 

KlmJan skrev:

Försök gör samma sak om n är udda. Börja med att ta bort det mittersta talet. De återstående talen är ett jämnt antal och bildar parvisa konstanta summor som ovan. Hur kompenserar du det borttagna mitt-talet?

Jag kommer faktiskt inte fram till något rimligt svar... 

Det blir alltså en (n+1) över om jag förstått det rätt.

Kanske att summan man får när man har tagit bort den mittersta och gjort uträkningen enligt $\frac{n(n+1)}{2}$

ska adderas med (n+1) som vi tog bort en gång och sedan dividera på 2. Men detta känns enligt mig lite orimligt och är egentligen en vild gissning jag dragit genom att tänka hur man gör när man har 2 värden i medianen, adderar dem och dividerar på 2 för att få medianen. Vet dock att det är en helt annan grej och att det förmodligen är helt irrelevant för detta. Men det var det enda jag kunde tänka på. 

Lösningsförslag:

$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+ ... +89+90+91+92+93+94+95+96+97+98+99$

Skriver talen baklänges på raden under:

$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+ ...$

$99+98+97+96+94+93+92+91+80+89+ ...$

adderar talen i översta raden med talen i nedersta raden och får:

$100+100+100+100+100+100+100+ ...$

Hur många "hundror" blir det?

99 st.

Summan är då $100 \cdot 99$

Men vi har adderat talen i "två" talföljder och ska dela summan med två för att få summan endast för en rad:

$S_{99}=\dfrac{99 \cdot 100}{2}$ 

AlexMu skrev:

KlmJan skrev:

Visa föregående citat

Försök gör samma sak om n är udda. Börja med att ta bort det mittersta talet. De återstående talen är ett jämnt antal och bildar parvisa konstanta summor som ovan. Hur kompenserar du det borttagna mitt-talet?

Jag kommer faktiskt inte fram till något rimligt svar... 

Det blir alltså en (n+1) över om jag förstått det rätt.

Kanske att summan man får när man har tagit bort den mittersta och gjort uträkningen enligt $\frac{n(n+1)}{2}$

ska adderas med (n+1) som vi tog bort en gång och sedan dividera på 2. Men detta känns enligt mig lite orimligt och är egentligen en vild gissning jag dragit genom att tänka hur man gör när man har 2 värden i medianen, adderar dem och dividerar på 2 för att få medianen. Vet dock att det är en helt annan grej och att det förmodligen är helt irrelevant för detta. Men det var det enda jag kunde tänka på. 

Lösningsförslag:

Visa spoiler

Om $n$ är udda så är $n-1$ jämn. 
Då vet vi att 

$\displaystyle 1 + 2 + \dots + \left(n-2\right) + \left(n-1\right) = \frac{(n-1)(n-1+1)}2 = \frac{(n-1)n}2$

Enligt formeln vi vet stämmer för jämna tal

Vi vet också att det nästa fallet är 

$S= 1 +2 + \dots + (n-2) + (n-1) + n$

Men vi vet redan vad de första $n-1$ talen har för värde. Så om vi byter ut det mot det kända värdet får vi: 

$\displaystyle S = \frac{(n-1)n}2 + n = \frac{n^2 - n}{2} + \frac{2n}{2} = \frac{n^2 + n}2 = \frac{n(n+1)}2$

sorry, men hänger inte riktigt med...

MaKe skrev:

$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+ ... +89+90+91+92+93+94+95+96+97+98+99$

Skriver talen baklänges på raden under:

$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+ ...$

$99+98+97+96+94+93+92+91+80+89+ ...$

adderar talen i översta raden med talen i nedersta raden och får:

$100+100+100+100+100+100+100+ ...$

Hur många "hundror" blir det?

99 st.

Summan är då $100 \cdot 99$

Men vi har adderat talen i "två" talföljder och ska dela summan med två för att få summan endast för en rad:

$S_{99}=\dfrac{99 \cdot 100}{2}$ 

förstår allt fram till att vi får 99 "hundror" förstår inte hur, med tanke på att det är 99 tal från 1-99. Så om man adderar dem på det viset du visade får vi väl 49 "hundror och ett tal över?

KlmJan skrev:

...

förstår allt fram till att vi får 99 "hundror" förstår inte hur, med tanke på att det är 99 tal från 1-99. Så om man adderar dem på det viset du visade får vi väl 49 "hundror och ett tal över?

Nej, på det viset får man inte något tal över.

Vad är summan av

$1+2+3+4+5$?

Då skriver vi samma talföljd under så att det blir så här:

$1+2+3+4+5$

$5+4+3+2+1$

Adderar talen från översta raden med talen från den nedersta

$6+6+6+6+6$

Hur många sexor är det?

Fem stycken eftersom det är fem tal i talföljden 1, 2, 3, 4, 5.

Summan av två rader är $5 \cdot 6$

För en rad ska det då vara

$S_5 = \dfrac{5 \cdot 6}{2}$

jahaaaaaa, nu förstår jag!!!!