Hur slutför man beviset om att dG=0 vid jämvikt?

Hej!

Då jag har en kurs i termodynamik har jag börjat fundera lite på kemisk termodynamik och teoretisk kemi och har en fundering. Det är vida känt att ett system ligger i jämvikt då $(dG)_{P,T}=0$. Jag har försökt härleda det här sambandet för ett enkelt system (ett system vars jämviktstillstånd kan karaktäriseras fullständigt av intern energi, volym och substansmängder) med $r$ komponenter, men jag fastnar lite grand. Nedan visar jag hur jag har tänkt hittills.

Vi börjar med att konstatera definitionen av Gibbs fria energi (som intressant nog kallas fria entalpin i tysk litteratur)

$G:=H-TS=U+PV-TS$

Vi bildar differentialen av $G$ under konstant tryck och temperatur och erhåller

$(dG)_{P,T}=dU+PdV-TdS$

Vidare inser vi att vi kan skriva om differentialen $dU=TdS-PdV+\sum_{i=1}^{r}\mu_idN_i$. Detta innebär alltså att differentialen av Gibbs fria energi under de givna betingelserna kan skrivas

$\displaystyle \left(dG\right)_{P,T}=\sum_{i=1}^{r}\mu_i dN_i$

Det går att härleda relativt enkelt genom att se var entropin är maximerad att ett system som detta i jämvikt uppfyller

$\displaystyle \sum_{j=1}^{r}\mathcal{V}_j\mu_j=0$

där $\mathcal{V}_j$ betecknar de stökiometriska koefficienterna hos de ingående species. Det känns som om det på något sätt borde gå att använda den senaste ekvationen för att visa att $dG=0$, men jag är osäker på hur.

Hjälp uppskattas!