Hur stämmer detta?

Jag hänger inte riktigt med på vad din fundering är.

Blir det tydligare om man skriver funktionen $u=u\left(x_1\left(t\right),x_2\left(t\right),\dots, x_p\left(t\right)\right)$?

ehhh, naj. Får la kolla noggrannare på det senare idag hehe

Det kanske blir lite enklare om man studerar ett mer konkret fall? Låt $z=f(x,y)$ vara en differentierbar funktion. Om vi då gör en mycket liten förändring $\Delta x$ i $x$, och en mycket liten förändring $\Delta y$ i $y$, vet vi att det för den ihophörande förändringen $\Delta z$ gäller:

$\displaystyle \Delta z\approx \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y$

Dela med ett $\Delta t$:

$\displaystyle \frac{\Delta z}{\Delta t}\approx \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\Delta x}{\Delta t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\Delta y}{\Delta t}$

I gränslandet då $\Delta t\to 0$ erhåller vi:

$\displaystyle \frac{d z}{dt} =\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

Samma sak kan man göra med $p$ variabler, som i din funktion.

Med tillgång till infinitesimaler kan man genomföra nästan samma resonemang som ovan fast med fullständig rigör.

Nej jag fattar fortfarande inte varför flera termer läggs till? Det känns inte intuitivt, varför räcker det inte bara med en term, DÅ blir det samma som vänsterled om man då stryker sex termerna. Liksom den kedjeregeln jag kände till var inre derivatan gånger yttre derivatan and that's it men nu så adderas de. Hmm vänta kanske om man skriver om så här

Du/dt=(du/dx)*(dx/dt) och sen kanske sätta in definitionen för x.

naytte skrev:

Det kanske blir lite enklare om man studerar ett mer konkret fall? Låt $z=f(x,y)$ vara en differentierbar funktion. Om vi då gör en mycket liten förändring $\Delta x$ i $x$, och en mycket liten förändring $\Delta y$ i $y$, vet vi att det för den ihophörande förändringen $\Delta z$ gäller:

$\displaystyle \Delta z\approx \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y$

Dela med ett $\Delta t$:

$\displaystyle \frac{\Delta z}{\Delta t}\approx \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\Delta x}{\Delta t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\Delta y}{\Delta t}$

I gränslandet då $\Delta t\to 0$ erhåller vi:

$\displaystyle \frac{d z}{dt} =\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

Samma sak kan man göra med $p$ variabler, som i din funktion.

Med tillgång till infinitesimaler kan man genomföra nästan samma resonemang som ovan fast med fullständig rigör.

Jag fattar heller inte varifrån du fick den första avrundningen? Hur vet vi det liksom?

Grejen är att den kedjeregeln du kände till sedan tidigare inte gäller flervariabla funktioner. Därför behöver vi en ny regel för dessa. Det vi gör är ju precis som innan "yttre gånger intre" fast vi har fler "yttre" och "inre" funktioner nu.

Approximeringen

$\displaystyle \Delta z\approx \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y$

är den flervariabla analogen till uttrycket nedan för $z=f(x)$ när $\Delta x$ är mycket litet:

$\displaystyle \Delta z\approx \frac{d f}{dx}\Delta x$

Men jag fattar inte är det nya z inte bara:

$∆z\approx f(∆x)$

Hur får du in derivatan? Vänta är det taylor?

Nej,

$\Delta z = f(x+\Delta x)-f(x)$

Tänk tillbaka till derivatans definition:

$\displaystyle f^\prime \left(x\right)=\frac{dz}{dx}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Hur skulle du tolka den i ord?

naytte skrev:

Nej,

$\Delta z = f(x+\Delta x)-f(x)$

Tänk tillbaka till derivatans definition:

$\displaystyle f^\prime \left(x\right)=\frac{dz}{dx}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Hur skulle du tolka den i ord?

derivatan av f är lika med derivatan av z m.a.p på x som är lika med gränsvärde (då delta x går mot 0) för uttrycket f av x + delta x - f av x genom delta x. 

Asså kedjeregeln kanske bara är DEFINIERAD till att vara så som den är så det kanske bara är att memorera den ?

Tänk dig en backe som sluttar neråt mot sydväst, uppåt mot nordost. X-axel österut, y-axel norrut. 

Hur mycket UPP kommer du om du rör dig en liten bit? Jo, d/dx gånger din förflyttning österut PLUS d/dy gånger din förflyttning norrut.

Bubo skrev:

Tänk dig en backe som sluttar neråt mot sydväst, uppåt mot nordost. X-axel österut, y-axel norrut. 

Hur mycket UPP kommer du om du rör dig en liten bit? Jo, d/dx gånger din förflyttning österut PLUS d/dy gånger din förflyttning norrut.

Omg det make:ar så mycket sense och z är bara lika med hela den förflyttningen så man får med allt på en ekvation holy moly. Det är så sant! 

Edit: Asså omg det säger exakt samma sak som Naytte, damn asså! Tack så mycket båda två! Och så kan man fortsätta tänka så fast för flera dimensioner också (kanske inte visualisera på samma sätt men ändå ha samma tankesätt)!