Hur tolkar ni intuitivt "differentialer" geometriskt?

Hej!

Jag har suttit och meckat lite med flervariabla funktioner på sistone och försöker hitta en bra geometrisk tolkning för uttryck som t.ex.

$\displaystyle df\left(\left(x,y,z\right),dx,dy,dz\right)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$

för någon funktion $f=f\left(x,y,z\right)$

Min intuitiva tolkning av differentialen $f$ har varit att den är den infinitesimala förändringen längs tangenthyperplanet i punkten $\left(x,y,z\right)$ till hyperytan som definieras av $f$ givet (godtyckliga) infinitesimala förändringar $dx,dy$ och $dz$ i koordinatriktningarna.

Om vi skulle gå ned en dimension genom att fixera en av koordinaterna, t.ex. genom att sätta $z=z_0$ så att $dz=0$, skulle man kunna omtolka differentialen $df$. Då blir den istället den infinitesimala förändringen längs tangentplanet i punkten $(x,y,z_0)$ till "delytan" till $f$ där $z=z_0$?

Om vi går ned en dimension till, genom att fixera $y=y_0$, så att $dy=0$, skulle man då liknande kunna omtolka differentialen $df$ som den infinitesimala förändringen längs tangentlinjen i punkten $(x,y_0,z_0)$ till "delkurvan" till $f$ där $y=y_0$ och $z=z_0$.

och så vidare.

Vad tycker ni om denna tolkning? Låter den rimlig, orimlig? Jag är också nyfiken på hur ni andra tänker kring dessa objekt. Vad har varit er tolkning hittills? I rena matekurser hade jag aldrig sett differentialer på det här sättet utan det var först när jag började läsa lite fysik som de dök upp.