Hur vet man vilken skalärprodukt som används?

Beviset använder den vanliga skalärprodukten på $\mathcal{L}\;\;^{2}(a,b)$, alltså den som definieras av

$\displaystyle \langle f\left(x\right),g\left(x\right) \rangle=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\bar{g\left(x\right)}dx$

Var menar du att $\omega$ skulle komma ifrån? Vi har ju att $Lf = -\lambda \omega f$ så när du skriver om $Lf$ i integralerna kommer ju viktfunktionen dyka upp, men viktfunktionen har såvitt jag förstår inget att göra med skalärprodukten som sådan.

Det finns viktade vektorrum där den inre produkten definieras med en vikt. Jag tänkte att eftersom vi tittar på L2 med denna vikt borde den kanske oxå förekomma i skalärprodukten.

Är vikten i det här fallet en del av vektorrummet eller är det bara en del av SLP:n?

Jag ska tillstå att jag inte är så inne i teorin utan jag bara köttar bevisen, men jag tolkar det så i alla fall och om man tolkar det så mejkar ju resten av beviset sense.

Det vanliga är att $<\cdot\, , \cdot>$ betyder "vanlig" skalärprodukt och $<\cdot\, ,\cdot>_w$ betyder viktad skalärprodukt.

När det gäller Sturm-Liouville problem och dess egenvärden $\lambda$ har vi ofta ekvationen

$Lf=\lambda w f$

Vilket betyder att $\lambda$ "egentligen" är egenvärde till operatorn

$\hat{L}=\frac{1}{w}L$ med $\hat{L}f=\lambda f$

Det gäller (helt trivialt!) att 

$<\frac{1}{w} Lf,\, g >_w=< f,\, \frac{1}{w} Lg >_w$

om och endast om

$< Lf,\, g > = < f,\, Lg >$.

På det viset kan vi se vikten som något som antingen ligger i operatorn eller i skalärprodukten. Du får flytta den, bara du gör det konsekvent.