Hur vet vi att tangentplan är "platta" vid extrema?

Hej!

Låt $f:\left(D\subseteq \mathbb{R}^2\right) \to \mathbb{R}$ vara en kontinuerlig funktion vars partiella derivator existerar och som definieras av $f=f\left(x,y\right)$. Vi begränsar oss för tillfället till en definitionsmängd som ligger i $\mathbb{R}^2$ men egentligen är min fråga mer generell än så.

Vi definierar ett tangentplan till en punkt $\left(a,b,f\left(a,b\right)\right)$ i grafen till $f$ som den funktion $g:\left(D\subseteq \mathbb{R}^2\right) \to \mathbb{R}$ som uppfyller:

$\displaystyle g\left(x,y\right)=f_x\left(a,b\right)\left(x-a\right)+f_x\left(a,b\right)\left(y-b\right)+f\left(a,b\right)$

Det är vanligt att man använder att ett tangentplan är platt då den tangerar en extrempunkt då man söker extrempunkter. Konkret innebär detta ofta att man söker de punkter $\left(a,b\right)$ där

$\displaystyle dg=f_x\left(a,b\right) dx+f_y\left(a,b\right) dy=0$$</p><p>ViinserattVLidettauttryckutgörskillnadenivärdetpåg$

Vi inser att VL i detta uttryck utgör skillnaden i värdet på g mellan tangeringspunkten $(a,b)$ och en annan punkt $(a+dx,b+dy)$. Det är vanligt att tolka $dx$ och $dy$ som infinitesimaler men det är inte nödvändigt i sökandet av extrempunkter.$</p><p>Intuitivtsägerossdettaalltsåattvisökerdepunkterdärallaandrapunktersomliggeritangentensgrafharsamma"höjd"somtangeringspunkten,alltsåattplanetärplatt.</p><p>Minfrågaärnu:hur <em>vet</em>viattplanetärplattvidextrema?Intuitivtärdetextremtrimligt,menintuitionkanbarataensålångt.</p><p>Försttänktejagattdetvidextremagälleratt$

Intuitivt säger oss detta alltså att vi söker de punkter där alla andra punkter som ligger i tangentens graf har samma "höjd" som tangeringspunkten, alltså att planet är platt.

Min fråga är nu: hur vet vi att planet är platt vid extrema? Intuitivt är det extremt rimligt, men intuition kan bara ta en så långt.

Först tänkte jag att det vid extrema gäller att \nabla f\left(x,y\right)=\mathbf{0}$, och vid insättning i uttrycket för tangenten$g$får man då en konstant höjd. Denna "räddning" fungerar tyvärr inte i mer komplicerade situationer då man kanske har att funktionen man studerar ges av en summa med någon form av begränsning av de oberoende variablerna, exemeplvis$

\displaystyle h=h_1\left(x\right)+h_2\left(y\right)\;\; \text{med}\;\; x+y=\text{konstant}$</p><p>Idettafallkanviocksåanvändaprocedurenovanföratthittaextrema,alltsåsökadepunkter$

I detta fall kan vi också använda proceduren ovan för att hitta extrema, alltså söka de punkter \left(x,y\right)$som uppfyller$

\displaystyle dg=\frac{\partial h_1}{\partial x}dx+\frac{\partial h_2}{\partial y}dy = 0$$

Men det måste INTE gälla i allmänhet att båda de partiella derivatorna är noll. Endast deras summa måste vara noll. Så resonemanget ovan om att stationära punkter är de där de partiella derivatorna är noll kan inte vara en allmängiltig förklaring för hur vi vet att tangentplanet är platt.

Hur ska man tänka här? Jag håller på att bli lite smått vansinnig över att jag inte förstår något så enkelt som jag använder konstant.