Hur vet vi att tangentplan är "platta" vid extrema?

Jag ser att tråden är oläslig men på grund av en bugg kan jag inte redigera den. En annan mod fixar tråden vid möjlighet.

EDIT: problemet ska nu vara fixat!

naytte skrev:

Jag ser att tråden är oläslig men på grund av en bugg kan jag inte redigera den.

Ofta är det bättre att kompilera koden till en bild. Det fanns bra hemsidor för det förr, men en av dem togs bort tyvärr. Prova öppna ett konto på overleaf.com (gratis) och skriv där och tag en bild. PA har en kass tolk.

Denna verkar ok, men jag vet inte hur komplexa saker den hanterar

https://www.quicklatex.com/

naytte skrev:

Hej!

Låt $f:\left(D\subseteq \mathbb{R}^2\right) \to \mathbb{R}$ vara en kontinuerlig funktion vars partiella derivator existerar och som definieras av $f=f\left(x,y\right)$. Vi begränsar oss för tillfället till en definitionsmängd som ligger i $\mathbb{R}^2$ men egentligen är min fråga mer generell än så.

Vi definierar ett tangentplan till en punkt $\left(a,b,f\left(a,b\right)\right)$ i grafen till $f$ som den funktion $g:\left(D\subseteq \mathbb{R}^2\right) \to \mathbb{R}$ som uppfyller:

$\displaystyle g\left(x,y\right)=f^\prime_x\left(a,b\right)\left(x-a\right)+f^\prime_y\left(a,b\right)\left(y-b\right)+f\left(a,b\right)$

Det är vanligt att man använder att ett tangentplan är platt då den tangerar en extrempunkt då man söker extrempunkter. Konkret innebär detta ofta att man söker de punkter $\left(a,b\right)$ där

$\displaystyle dg=f^\prime_x\left(a,b\right) dx+f^\prime_y\left(a,b\right) dy=0$

Vi inser att VL i detta uttryck utgör skillnaden i värdet på g mellan tangeringspunkten $(a,b)$ och en annan punkt $(a+dx,b+dy)$. Det är vanligt att tolka $dx$ och $dy$ som infinitesimaler men det är inte nödvändigt i sökandet av extrempunkter.

Intuitivt säger oss detta alltså att vi söker de punkter där alla andra punkter som ligger i tangentens graf har samma "höjd" som tangeringspunkten, alltså att planet är platt.

Min fråga är nu: hur vet vi att planet är platt vid extrema? Intuitivt är det extremt rimligt, men intuition kan bara ta en så långt.

Först tänkte jag att det vid extrema gäller att $\nabla f\left(x,y\right)=\mathbf{0}$, och vid insättning i uttrycket för tangenten $g$ får man då en konstant höjd. Denna "räddning" fungerar tyvärr inte i mer komplicerade situationer då man kanske har att funktionen man studerar ges av en summa med någon form av begränsning av de oberoende variablerna, exemeplvis

$\displaystyle h=h_1\left(x\right)+h_2\left(y\right)\;\; \text{med}\;\; x+y=\text{konstant}$

I detta fall kan vi också använda proceduren ovan för att hitta extrema, alltså söka de punkter $\left(x,y\right)$ som uppfyller

$\displaystyle dg=\frac{\partial h_1}{\partial x}dx+\frac{\partial h_2}{\partial y}dy = 0$

Men det måste INTE gälla i allmänhet att båda de partiella derivatorna är noll. Endast deras summa måste vara noll. Så resonemanget ovan om att stationära punkter är de där de partiella derivatorna är noll kan inte vara en allmängiltig förklaring för hur vi vet att tangentplanet är platt.

Hur ska man tänka här? Jag håller på att bli lite smått vansinnig över att jag inte förstår något så enkelt som jag använder konstant.

M.h.a. Citera-knappen och manuell justering av dollartecken har jag kunnat göra inlägget läsbart. Nu kan vi därmed fokusera på själva frågan...

@naytte: Har du hört om Lagrange-multiplikatorer? (Och om så är fallet, har du sett hur man bevisar att de funkar?)

Lagrange-multiplikatorer täcker nämligen fallet där man söker extrempunkter av en funktion av två (eller fler) variabler, där input-variablerna är bundna av ett (eller flera) bivillkor såsom t.ex. $x+y=\text{konstant}$

Om man tittar på det exempel du nämnt, d.v.s.

$h(x,y) = h_1(x) + h_2(y)$,  där $x+y = \text{konstant}$,

så säger satsen om lagrange-multiplikatorer att $\nabla h \parallel (1, 1)$ där vektorn $(1,1)$ fåtts från bivillkoret då $\nabla(x+y) = (1,1)$. Villkoret $\nabla h \parallel (1, 1)$ är ekvivalent med ekvationen $\nabla h \cdot (1, -1) = 0$, d.v.s.

$\displaystyle \frac{\partial h_1}{\partial x} - \frac{\partial h_2}{\partial y} = 0$,

vilket ger att

$\displaystyle \frac{\partial h_1}{\partial x}\,dx + \frac{\partial h_2}{\partial y} \, \underbrace{(-dx)}_{=dy}= 0$

@LuMa07, jag har varken sett eller arbetat med Lagrangemultiplikatorer innan, men det kan vara värt att kolla in i så fall.

Efter att ha funderat på problemet ytterligare kanske min ursprunliga fråga från gårdagens nattliga yra inte var helt rätt. I ord tolkar jag tangentplanet i $(a,b)$ som det plan som "skär ytan till $f$ i punkten $(a,b,f(a,b))$ och som dessutom "lutar lika mycket som ytan till $f$ i punkten $(a,b)$".

I tangentplanets ekvation har vi ju endast derivatorna med avseende på $x$ och på $y$, alltså två (oberoende) riktningar, så hur säkerställer vi att planet har samma lutning som ytan bara med två partiella derivator? Det finns ju oändligt många fler riktningar.

Om vi reder ut det tror jag att jag kan acceptera procdeuren som beskrivs ovan (vid ett extremum lutar ytan inte alls, det får ändå tas för givet).

naytte skrev:

@LuMa07, jag har varken sett eller arbetat med Lagrangemultiplikatorer innan, men det kan vara värt att kolla in i så fall.

Efter att ha funderat på problemet ytterligare kanske min ursprunliga fråga från gårdagens nattliga yra inte var helt rätt. I ord tolkar jag tangentplanet i $(a,b)$ som det plan som "skär ytan till $f$ i punkten $(a,b,f(a,b))$ och som dessutom "lutar lika mycket som ytan till $f$ i punkten $(a,b)$".

I tangentplanets ekvation har vi ju endast derivatorna med avseende på $x$ och på $y$, alltså två (oberoende) riktningar, så hur säkerställer vi att planet har samma lutning som ytan bara med två partiella derivator? Det finns ju oändligt många fler riktningar.

Om vi reder ut det tror jag att jag kan acceptera procdeuren som beskrivs ovan (vid ett extremum lutar ytan inte alls, det får ändå tas för givet).

Frågeställningen blir väl densamma i 2 dim och vi betraktar tangenten till en kurva?. Hur vet vi att en tangent är en tangent i punkten (a,f(a)). Det "vet" vi genom att f är "behärskad" i en omgivning av punkten. En fraktal kurva skulle troligen inte ha någon vettig tangent någonstans på samma sätt om y=|x| inte har en tangent i origo. Samma sak i R3, där vi får anta att yta är "jämn" i punkten. Det måste(?) väl stå någon formulering i satsen i Analys 2 som ger dessa förutsättningar, t.ex. att f är C2 eller likn.? De var så många år sedan jag läste Analys 2 att jag kommer ej ihåg alla detaljer. LuMa07 kommer nog med ett bättre svar snart.

Det är ju mer rimligt i 2D att en derivata räcker för att täcka alla riktningar eftersom man bara kan röra sig åt två håll. I 3D+ kan man ju däremot röra sig åt oändligt många håll så det är lite mer otydligt varför två (map. $x$ och map. $y$) räcker.

På vidare eftertanke är det ändå ganska rimligt. För att studera förändringar i godtyckliga riktningar i $xy$-planet kan vi åberopa riktningsderivatan,

$\displaystyle f^\prime_{\mathbf{v}}\left(\mathbf{x}\right):=\lim_{h \to 0} \frac{f\left(\mathbf{x}+h\hat{\mathbf{v}}\right)-f\left(\mathbf{x}\right)}{h}$

Det finns ju en fin sats som säger att 

$\displaystyle f^\prime_{\mathbf{v}}\left(\mathbf{x}\right) = \hat{\mathbf{v}}\cdot\nabla f$

Antag att tangentplanet i en punkt $(a,b,f\left(a,b\right))$ ges av

$\displaystyle g\left(x,y\right)=f_x\left(a,b\right)(x-a)+f_y\left(a,b\right)(y-b)+f\left(a,b\right)$

Riktningsderivatan i punkten $(a,b)$ i alla riktningar $\mathbf{v}$ av $g$ är densamma som av $f$, så de lutar alltså likadant i alla riktningar.

naytte skrev:

Det är ju mer rimligt i 2D att en derivata räcker för att täcka alla riktningar eftersom man bara kan röra sig åt två håll. I 3D+ kan man ju däremot röra sig åt oändligt många håll så det är lite mer otydligt varför två (map. $x$ och map. $y$) räcker.

Ett plan i rummet definieras entydigt av två (linjärt oberoende) riktningsvektorer och en punkt som ligger i planet. Det är alltså bara två riktningar / "lutningar" som behövs för att exakt veta vilket plan man behandlar.

Har man beräknat de partiella derivatorna $f^\prime_x(a,b)$ och $f^\prime_y(a,b)$, så har man hittat två riktningsvektorer för tangentplanet, nämligen  $(1, 0, f^\prime_x(a,b))^t$ och $(0, 1, f^\prime_y(a,b))^t$.

Sedan finns det också fråga vad som får kallas för ett tangentplan, vilket Trinity2 var inne på:

• Är funktionen $f$ differentierbar i punkten $(a,b)$, så är  $z = f(a,b) + f^\prime_x(a,b) (x-a) + f^\prime_y(a,b) (y-b)$ verkligen en ekvation för ett tangentplan.
• Är funktionen $f$ inte differentierbar i punkten $(a,b)$, så finns det inget tangentplan.

Om partiella derivator är kontinuerliga, d.v.s. $f \in C^1(\Omega)$ där $\Omega \subset \mathbb{R}^2$, så är funktionen garanterat differentierbar i alla punkter i $\Omega$, vilket i sin tur medför att riktningsderivatorna är lika med skalärprodukten av gradienten och den normerade riktningen.

Här är ett enkelt exempel av en funktion som har partiella derivator i en punkt, men inte är differentierbar i den punkten:

$f\left(x, y\right) = \left\{ \begin{array}{cl}1 & \text{då }x=0\text{ eller }y=0\\ 0 & \text{annars} \end{array} \right.$

För denna funktion är $f(0,0) = 1$ och $f^\prime_x(0,0) = f^\prime_y(0,0)=0$. Jag skulle nog vilja hävda att $z = f(0,0) + f^\prime_x(0,0) (x-0) + f^\prime_y(0,0) (y-0)$, d.v.s. $z=1$ inte är ett tangentplan. (Det saknas tangentplan i origo)

Ett alternativt betraktelsesätt är att se "tangentplanet" i en punkt $p$ på ett objekt $M$ som mängden av alla hastighetsvektorer hos deriverbara kurvor på $M$ som går genom $p$:

$T_pM=\{\dot \gamma_p(0):\gamma_p(0)=p, \gamma\subset M \}$

Då slipper problem med koordinatartefakter och det ger dessutom god intuition (tycker jag).