Hur avgör vi huruvida nämnare och täljare delar nollställen inom annulusen?

Hej! Jag sitter med uppgiften nedan från en gammal tentamen i komplex analys:

Jag har använt Rouchés sats och kommit fram till att det finns tre nollställen till nämnaren (inkl. multiplicitet) inom annulusen som definieras längst ned i uppgiften. Det enda som kvarstår är att undersöka huruvida nämnare och täljare delar några nollställen inom denna annulus (om någon av singulariteterna är hävbar är det ingen pol...). Här kör jag dock fast. Finns det något smart sätt att visa det på?