I vilka situationer gäller Newtons lagar?

Tyvärr är det inte lätt att ge "tumregler" för när Newtons approximativa lagar slutar gälla när vi rör oss in i det kvantmekaniska området, men den generella varningssignalen är när saker blir för små.

Jag hoppas att ni gick igenom att Newtons lagar (klassisk mekanik) kan härledas ur verkansintegralen (action) av Lagrangianen $L=K-U$ i någon av mekanikkurserna (mek B andra kursen första året back in the day).

Om en partikel startar i $x_i(t_i)$ och slutar i $x_f(t_f)$ så följer partikeln den bana som minimerar eller åtminstone håller integralen

$\displaystyle S\left(x\right)=\int_{t_i}^{t_f} L\,\mathrm{d}t$

stationär (Hamiltons princip). I klassisk mekanik följer alltså partikeln en väldefinierad bana, medan kvantmekanik tillåter bidrag från andra banor. Dessa bidrag är dock oscillerande och viktas med faser av typen $e^{iS/\hbar}$. Har du ett system där $S>>\hbar$ kan du lugnt använda klassisk mekanik eftersom de oscillerande bidragen är små och interfereras bort. För ett system där verkansintegralen istället är av storleksordning $S\sim \hbar$ är det dags att plocka fram den kvantmekaniska verktygslådan. Detta är dock en krångligare "tumregel" med mindre allmängiltighet än den från gymnasiet kända $v<<c \Longrightarrow$  "relativitetsteori". Dessutom är det ofta enklare att använda redan framräknade resultat.

Vill man till exempel avgöra om elektronens vågegenskaper är viktiga, kan man i praktiken jämföra dess de Broglie-våglängd med systemets relevanta längdskala (t.ex. spaltbredden i ett experiment) och så vidare.

Vi diskuterade faktiskt aldrig verkansintegralen i någon mekanikkurs så jag har bara sett den i få sammanhang och aldrig använt den. Trots det är jag nog ändå delvis med på det du säger.

Hur ska man tänka med det vi sysslade med på gymnasiet? Vi räknade exempelvis på elektroner som rörde sig genom elektriska eller magnetiska fält och gjorde kraftanalyser som om de vore klassiska partiklar. Elektroner borde väl definitivt närma sig kvantmekanikens värld?

Frågan jag vill komma fram till egentligen är hur man motiverar energibevaringsprincipen genom arbete när det kommer till mikroskopiska partiklar. Om man rör om i ett glas vatten uträttar man ett bestämt arbete på vattnets molekyler och man säger att arbetet (som alltså bygger på axiomet $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$) har överfört en lika stor mängd energi till vattnenmolekylerna. Men vattenmolekyler är väl så små att klassisk mekanik inte borde gälla dem, så hur ska man tänka där?

När man rör om vattnet uppstår virvlar, laminära- och turbulenta rörelser. Efter en stund lugnar vattnet ned sig och uppnår en jämvikt.

Man kan se det som att den genomsnittliga translations- och rotationsenergin per molekyl har ökat.

Energin (per molekyl) är väntevärdet av dess Hamiltonian $E=\langle H \rangle$. Med Einsteinnotation har vi

$E=\langle H \rangle=p_iH_i$

där vi tolkar det upprepade indexet som en summation över diskreta tillstånd och $p_i$ är sannolikheten för tillstånd $i$. VI kan nu bilda differentialen med avseende på en extern parameter $\lambda$ (kom ihåg produktregeln för derivata!):

$dE=dp_iH_i+p_idH_i$

Den första termen är "absorberad värme" $Q$, den andra termen är "arbetet" systemet uträttar $W$. Från fortsättningskursen i mekanik känner vi till att den generaliserade kraften allmänt ges av

$\displaystyle \frac{\partial H}{\partial \lambda}=-X$

Alltså är

$\delta W=p_idH_i=p_i\frac{\partial H_i}{\partial \lambda}d\lambda=-\langle X\rangle d\lambda$

Ett annat sätt att nå kraften $\langle X\rangle$ är att använda sambandet

$\langle X \rangle=T\left(\frac{\partial S}{\partial \lambda}\right)_E=\frac{1}{\beta}\left(\frac{\partial \ln \Omega}{\partial\lambda}\right)_E$

där $S= k_B\ln\left(\Omega\right),\quad \Omega=\Omega(E;\lambda_1,\dots,\lambda_n),\quad \beta=\frac{1}{k_BT}$