I vilka situationer gäller Newtons lagar?

Tyvärr är det inte lätt att ge "tumregler" för när Newtons approximativa lagar slutar gälla när vi rör oss in i det kvantmekaniska området, men den generella varningssignalen är när saker blir för små.

Jag hoppas att ni gick igenom att Newtons lagar (klassisk mekanik) kan härledas ur verkansintegralen (action) av Lagrangianen $L=K-U$ i någon av mekanikkurserna (mek B andra kursen första året back in the day).

Om en partikel startar i $x_i(t_i)$ och slutar i $x_f(t_f)$ så följer partikeln den bana som minimerar eller åtminstone håller integralen

$\displaystyle S\left(x\right)=\int_{t_i}^{t_f} L\,\mathrm{d}t$

stationär (Hamiltons princip). I klassisk mekanik följer alltså partikeln en väldefinierad bana, medan kvantmekanik tillåter bidrag från andra banor. Dessa bidrag är dock oscillerande och viktas med faser av typen $e^{iS/\hbar}$. Har du ett system där $S>>\hbar$ kan du lugnt använda klassisk mekanik eftersom de oscillerande bidragen är små och interfereras bort. För ett system där verkansintegralen istället är av storleksordning $S\sim \hbar$ är det dags att plocka fram den kvantmekaniska verktygslådan. Detta är dock en krångligare "tumregel" med mindre allmängiltighet än den från gymnasiet kända $v<<c \Longrightarrow$  "relativitetsteori". Dessutom är det ofta enklare att använda redan framräknade resultat.

Vill man till exempel avgöra om elektronens vågegenskaper är viktiga, kan man i praktiken jämföra dess de Broglie-våglängd med systemets relevanta längdskala (t.ex. spaltbredden i ett experiment) och så vidare.

Vi diskuterade faktiskt aldrig verkansintegralen i någon mekanikkurs så jag har bara sett den i få sammanhang och aldrig använt den. Trots det är jag nog ändå delvis med på det du säger.

Hur ska man tänka med det vi sysslade med på gymnasiet? Vi räknade exempelvis på elektroner som rörde sig genom elektriska eller magnetiska fält och gjorde kraftanalyser som om de vore klassiska partiklar. Elektroner borde väl definitivt närma sig kvantmekanikens värld?

Frågan jag vill komma fram till egentligen är hur man motiverar energibevaringsprincipen genom arbete när det kommer till mikroskopiska partiklar. Om man rör om i ett glas vatten uträttar man ett bestämt arbete på vattnets molekyler och man säger att arbetet (som alltså bygger på axiomet $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$) har överfört en lika stor mängd energi till vattnenmolekylerna. Men vattenmolekyler är väl så små att klassisk mekanik inte borde gälla dem, så hur ska man tänka där?

När man rör om vattnet uppstår virvlar, laminära- och turbulenta rörelser. Efter en stund lugnar vattnet ned sig och uppnår en jämvikt.

Man kan se det som att den genomsnittliga translations- och rotationsenergin per molekyl har ökat.

Energin (per molekyl) är väntevärdet av dess Hamiltonian $E=\langle H \rangle$. Med Einsteinnotation har vi

$E=\langle H \rangle=p_iH_i$

där vi tolkar det upprepade indexet som en summation över diskreta tillstånd och $p_i$ är sannolikheten för tillstånd $i$. VI kan nu bilda differentialen med avseende på en extern parameter $\lambda$ (kom ihåg produktregeln för derivata!):

$dE=dp_iH_i+p_idH_i$

Den första termen är "absorberad värme" $Q$, den andra termen är "arbetet" systemet uträttar $W$. Från fortsättningskursen i mekanik känner vi till att den generaliserade kraften allmänt ges av

$\displaystyle \frac{\partial H}{\partial \lambda}=-X$

Alltså är

$\delta W=p_idH_i=p_i\frac{\partial H_i}{\partial \lambda}d\lambda=-\langle X\rangle d\lambda$

Ett annat sätt att nå kraften $\langle X\rangle$ är att använda sambandet

$\langle X \rangle=T\left(\frac{\partial S}{\partial \lambda}\right)_E=\frac{1}{\beta}\left(\frac{\partial \ln \Omega}{\partial\lambda}\right)_E$

där $S= k_B\ln\left(\Omega\right),\quad \Omega=\Omega(E;\lambda_1,\dots,\lambda_n),\quad \beta=\frac{1}{k_BT}$

Hej igen, tack för svaret!

All mekanik jag har läst hittills har varit grundläggande så jag saknar nog många grunder men har du någon rekommendation på litteratur som behandlar detta grundligt? Det verkar vara statistisk mekanik. Vilka slags förkunskaper är bra att införskaffa först?

En relaterad fråga jag har är vad man behöver för att kunna förstå härledningen av Noethers sats. Även om jag använder begreppet "energi" flitigt är det fortfarande inte helt klart för mig vad det är (trots den långa tråden om energi hehe). Eftersom energi som begrepp används flitigt inom (statistisk) mekanik kanske det är bra att reda ut det ordentligt först (för själsfriden). Från vad jag kan läsa till mig använder man Lagrangeformalismen när man härleder Noethers sats, men utifrån vad jag kan läsa mig till om denna är väl "energi" grundbegreppet i hela formalismen? Man definerar exempelvis Lagrangianen för många system genom kinetisk och potentiell energi. Om målet är att komma fram till att tidstranslationell invarians leder till lokalt bevarande av någon storhet (energi) känns det lite konstigt att utgå från början från att man vet vad det är. Eller är det snarare så att tolkningen "Lagrangianen definieas i termer av energi" kan ses som en efterkonstruktion när man redan vet vad energi är?

Jag är ute på extremt djupt vatten nu så det jag frågar kanske inte ens mejkar sense

Ja, tanken med mitt inlägg var att försöka förklara hur man kan koppla ihop den lite "flummiga" makroskopiska formuleringen av termodynamiken med mikroskopiska grundlagar. Närmare bestämt är det en härledning av termodynamikens första lag från statistisk mekanik.

Det kanoniska standardverket för statistisk mekanik är Statistical Physics. Vol. 5 (Landau, Lifshitz).  Men den är ganska träig och tung, skriven för forskare/doktorander och det gäller att få tag på en ny och fräsch upplaga. En bra introduktion som går lite långsammare fram och bjuder på nödvändig kvantmekanik är Fundamentals of Statistical and Thermal Physics av Federick Reif. Den har dessutom mycket fokus på att gå från mikrotillstånd (enskilda partiklar) -> makroskopisk teori.

Det är nog bra om du kompletterar med någon framställning som behandlar Hamiltonformalismen i klassisk mekanik samt eventuellt lite grundkunskaper i kvanfysik.

Tanken med en Lagrangefunktion är att den ska ge oss rörelseekvationerna för ett konservativt mekaniskt system. Alla funktioner man kan tänkas hitta på som uppfyller det kravet är "godkända". Det finns alltid en hel ekvivalensklass av Lagrangefunktioner som ger samma grundläggande naturlagar (till exempel Newtons ekvationer).

Angående Noether; lite förenklat kan man säga att man studerar villkoren för att en integral av Lagrangefunktionen ska ge ett extremvärde (ofta ett minimum) när man går från en punkt $P_1$ i ett parameterrum till en annan punkt $P_2$. Låt oss ta ett enkelt exempel

Här vill vi gå från tillstånd $P_1$ till tillstånd $P_2$. Vilken väg kommer systemet ta? Enligt Hamiltonprincipen kommer systemet ta en väg som ger ett extremvärde, ofta minimum.

Låt oss anta att vi har en kurva $x^j(t)$ från $x^j(t_1)=P_1$ till $x^j(t_2)=P_2$

Sträckan (längden i $L_2$-normens  mening) mellan $P_1$ och $P_2$ ges av då av

$s=\int_{t_1}^{t_2} \left(\sum_{j=1}^n dx^j dx^j\right)^{1/2}=\int_{t_1}^{t_2} \left(\sum_{j=1}^n \dot{x}^j \dot{x}^j\right)^{1/2}\, dt$

Är vi intresserade av att minimera längden på vår resa är alltså Lagrangefunktionen $L=\left(\sum_{j=1}^n \dot{x}^j \dot{x}^j\right)^{1/2}$ intressant! Ställer vi upp Euler-Lagrange för denna $E_j(L)=0$ kommer vi få ett system av differentialekvationer som beskriver den kortaste vägen (extremal)  mellan $P_1$ och $P_2$ i parameterrummet. Eftersom vi bara tittar på avståndet kommer ekvationerna ge oss en (tråkig) rät linje, men mer komplexa Lagrangefunktioner och mer invecklad metrik (på den topologiska mångfalden) ger andra resultat. Notera vilken roll Lagrangefunktionen spelar. 

Vad Noether säger är att om en verkan är invariant under en kontinuerlig transformation (upp till total derivata), så finns det en bevarad storhet som kan konstrueras från Lagrangefunktionen och transformationens generatorer. Euler-Lagrange-tensorn $E_j(L)$ och Noetherladdningar är länkade via en differentialidentitet som involverar symmetrigeneratorn. På det sättet är energi en Noether-laddning kopplad till tidsinvarians. Men blir som du påpekar en cirkulär definition.

Du kommer alltså hitta vackra symmetrier, konserveringslagar och djupa samband, men Noether kommer förmodligen inte ge dig ett tillfredsställande svar på frågan "Vad är egentligen energi?".

Tack för det uttömmande inlägget och litteraturrekommendationerna!

Jag trodde (som sagt utan att ha varit särskilt inläst på de tekniska detaljerna) att Noethers sats gav oss ett sätt att definiera energi. Något i stil med, "i ett system där det råder tidstranslationell symmetri finns det alltid en lokalt bevarad storhet som vi kallar energi". Skulle en sådan definition alltså vara cirkulär?

En relaterad fråga jag har angående statistisk mekanik och Noether: jag är intresserad av kemi (studerar kemiteknik) och olika bindningsteorier handlar mycket om "energi" fast på mikroskopisk skala. I valensbindningsteori talar man exempelvis om att atomorbitaler blandas för "utjämna bindningsorbitalernas energier" et cetera.

Ger Noether insikter här med eller gäller hennes sats med avseende på energi bara makroskopiska partiklar?

Det är ju en korrekt och mycket djup observation om energibegreppet, men det är inte en bra definition!

Låt oss för enkelhetens skull hålla oss till Lagrangefunktioner på formen $L=L(t,x^h, \dot{x}^h)$ som är en funktion av $2n+1$ variabler. Antag att verkansintegralen är invariant under en r-parametrig kontinuerlig transformationsgrupp med infinitesimala generatorer $(\xi_s,\, \zeta^j_s)$. Då finns det $r$ linjärkombinationer av Euler-Lagrange tensorn, $E_j(L)$, som är exakta differentialer:

$E_j(L)(\zeta^j_s-\dot{x}^j\xi_s)=\frac{d}{dt}\left[L\xi_s+\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^j}(\zeta^j_s-\dot{x}^j\xi_s)\right]$

Om vi inför beteckningarna

$\theta_s=-L\xi_s-\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^j}(\zeta^j_s-\dot{x}^j\xi_s) = H\xi_s-p_j\zeta^j_s$

Kan detta skrivas

$E_j(L)(\zeta^j_s-\dot{x}^j\xi_s)=-\frac{d\theta_s}{dt}$

Invarians under tidstranslation, dvs $\xi=1, \zeta^j=0$, innebär att Lagrangefunktionen saknar explicit tidsberoende, dvs

$\frac{\partial L}{\partial t}=0$

Det är alltså vi själva som väljer en Lagrangian utan explicit tidsberoende, det är inte något som magiskt ramlar ut ur Noethers sats. Men om vi gör detta val garanterar Noethers sats att $\theta = H$ är bevarad utmed en integrationsväg genom mångfalden som ger integralen ett extremvärde (oftast ett minimum).

På samma sätt gäller att om fundamentalintegralen är invariant under rumstranslation får vi att $\theta_j=-p_j$ är bevarad (konstant) utmed en integrationsväg som ger ett extremvärde (dvs rörelsemängden $p$ är bevarad).

Noethers sats hjälper oss alltså att identifiera symmetrier hos verkansintegralen (till exempel tidstranslation) som garanterar existensen av en bevarad storhet (till exempel energi). Men det är inte Noether som bestämmer vilken Lagrangefunktion vi ska använda, eller vilka övriga naturlagar som tillämpas. Därför vore det cirkulärt att använda Noethers sats för att definiera energibegreppet. Dock säger Noether en hel del om energibegreppets egenskaper.

Angående din andra fråga;  Noethers sats visar att varje symmetri i naturen leder till en bevarad storhet, som energi eller rörelsemängd.

Samma idé, fast i kvantmekanik, ger oss ledtrådar om vilka storheter som förblir oförändrade när systemet utvecklas över tid (vad som kommuterar med  $H$), och hur man kan bygga de kvantmekaniska motsvarigheterna till klassiska fält.

Men när det gäller molekyler är det dock främst symmetrierna hos själva Hamiltonoperatorn, alltså systemets energistruktur, som bestämmer hur elektronerna arrangerar sig i orbitaler, vilka energinivåer som uppstår och vilka kombinationer av tillstånd som är möjliga.

Edit: Jag kanske slutligen bör nämna att det finns diskurser där man utgår från Noethersymmetrier, till exempel för att definiera energi, och sedan härleder vilken Lagrangefunktion som är förenlig med dessa symmetrier. Det är dock inte konsensusdefintionen av energi och den blir lite svår att försvara i vissa sammanhang.

Tack återigen för ditt svar!

Hur skulle du definiera energibegreppet, om livet hängde på det? Eller är det en storhet som inte går att använda icke-cirkulärt (vilket man kanske bara får acceptera...)?

I energitråden som var aktiv för något år sedan nämnde du att man kunde betrakta energi (åtminstone på makroskopisk skala) genom den klassiska termodynamiken, men nu när jag har befattat mig ganska mycket med denna tror jag att en sådan "definition", bortsett från att endast gälla makroskopiska system, skulle vara alldeles för snäv för att vara tillämpbar generellt i makroskopiska sammanhang. Termodynamiska storheter kräver ju termodynamisk jämvikt för att existera, men den klassiska mekaniken använder ju energibegreppet i väldigt många avseenden som inte innefattar någon termodynamisk jämvikt.

En intressant side-note om detta förresten: jag läste något utdrag för ett tag sedan där författarna menade att det typiska arbetsbegreppet vi känner till ur mekaniken inte räcker till för termodynamiska ändamål. Tydligen ska Gibbs också ha grubblat på detta när han var aktiv. Ska se om jag kan hitta referensen.

När man läser grundkurser i fysik får man lätt uppfattningen att energi skulle vara någon sorts grundläggande magisk naturlag eftersom bokföringslagen "energins bevarande" är ett så extremt kraftfullt verktyg i många situationer.  

Men när man studerar vidare får man veta att energi är globalt bevarad om och endast om rumtiden medger en global tidslik (timelike) Killingvektor. Vi vet genom mätningar att det förhåller sig precis tvärtom, universum expanderar, vilket reducerar energi till en lokalt men inte globalt bevarad bokföringsstorhet. Det innebär att lagen om "energins bevarande" inte en naturlag utan en lokal strukturell konsekvens av rumtidens geometri. Det är alltså ett sorts tvångsvillkor påfört av rumtidens beskaffenhet, inte en fundamental naturlag. 

Jag skulle därför välja att använda den definition som passar för tillfället och inte tillskriva det alltför stor betydelse, eftersom det verkar vara ett stickspår. När vi förstår vad tid egentligen är och hur gravitation fungerar på kvantnivå kommer "energi" förmodligen vara en matematisk konsekvens som faller på plats automatiskt.

Som du förstår är jag inte särskilt imponerad av "energin är alltid bevarad". Dels för att den inte är det, dels för att det, enligt mig då, inte återspeglar något djupare om hur verkligheten fungerar. Men det är min personliga åsikt och det finns fysiker som menar att svarta hål kan behandlas med klassisk termodynamik och entropi. Så du får inte ta det som "så här är det" utan mer som "det här är en filosofi-spaning" och kanske titta på den här videon för balans

https://www.youtube.com/watch?v=MJwtAiKEYs8&t=2229s
 

Anledningen till att jag fortfarande är fast på denna fråga är att man ofta får monstruösa uttryck serverade där föreläsaren bara påstår att det är en form av energi. Liksom jaha, hur i hela friden visste du det?! Det som gör mig mest irriterad är att det verkar som om alla förutom jag förstår vad det ska betyda. Eftersom jag är ganska matematiskt sinnad rent allmänt blir jag väldigt oroad av att inte "förstå".

Vad gäller att behandla icke-jämviktssystem med termodynamik: 🤔

Författaren till boken jag har lärt mig mest med (Herbert B. Callen) trycker ofta väldigt hårt på att termodynamiska storheter inte är definierade utanför jämvikt. Men jag har sett att vissa använder det som i viss litteratur kallas för "the local equilibrium hypothesis" där man antar att varje infinitesimal region av ens system är i jämvikt, så att man kan definiera skalärfält som "energidensitet" eller "entropidensitet". Det kanske är något sådant som avses i videon?