4 svar
38 visningar
naytte behöver inte mer hjälp
naytte 5120 – Moderator
Postad: 23 mar 19:29 Redigerad: 23 mar 19:29

Icke-homogena diff. ekvationer - varför behöver vi bara en partikulärlösning?

God kväll!

Jag håller på att studera differentialekvationer. Låt säga att vi skulle försöka lösa en ekvation:

y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)\displaystyle y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)

Vi säger då att den generella lösningen kommer vara på formen y=yh+yp\displaystyle y=y_h+y_p, där ypy_p är någon partikulärlösning och yhy_h är lösningen till den homogena motsvarigheten till ekvationen ovan. Det jag inte förstår är hur vi tar med alla lösningar när vi bara hittar en partikulärlösning. Det finns väl hur många partikulärlösningar som helst? Kommer vårt svar inte se annorlunda ut beroende på vilken partikulärlösning vi hittar?

Laguna Online 30655
Postad: 23 mar 19:35

Det kan se annorlunda ut, men alla skillnader mellan olika partikulärlösningar täcks in av den homogena lösningen.

Om yp1 är en lösning och yp2 är en lösning, så är yp1-yp2 en lösning till den homogena ekvationen.

naytte 5120 – Moderator
Postad: 23 mar 19:37

Om yp1 är en lösning och yp2 är en lösning, så är yp1-yp2 en lösning till den homogena ekvationen.

Yes, detta är jag med på! Men jag ser inte riktigt kopplingen mellan detta och att den homogena lösningen täcker in skillnaderna mellan de olika partikulärlösningarna. Skulle du kunna förklara det lite mer? Gärna med ett exempel om du har tid.

naytte 5120 – Moderator
Postad: 23 mar 20:04 Redigerad: 23 mar 20:06

Ja, efter lite tankeverksamhet tror jag att jag förstår. Om vi låter Ly=y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)\displaystyle Ly=y''+a(x)y'+b(x)y=f(x), där LL är en linjär operator, och låter yp1y_{p1} samt yp2y_{p2} vara två partikulärlösningar kommer:

L(yp1-yp2)=L(yp1)-L(yp2)=0L(yp1)=L(yp2)L(y_{p1}-y_{p2})=L(y_{p1})-L(y_{p2})=0 \iff L(y_p1)=L(y_{p2})

Så om vi nu skulle stoppa in y=yp1+yhy=y_{p1}+y_h och y=yp2+yhy=y_{p2}+y_h i vår operator skulle vi få:

L(yp1+yh)=L(yp1)+L(yh)\displaystyle L(y_{p1}+y_h)=L(y_{p1})+L(y_h) och L(yp2+yh)=L(yp2)+L(yh)\displaystyle L(y_{p2}+y_h)=L(y_{p2})+L(y_h)

Det betyder att L(yp1+yh)=L(yp2+yh)\displaystyle L(y_{p1}+y_h)=L(y_{p2}+y_h)

Så oavsett val på partikulärlösning får vi samma lösning.

Stämmer det?

Laguna Online 30655
Postad: 23 mar 20:07

Ja, det ser vettigt ut.

Svara
Close