Ickebevisat bevis

Bra början! Då antar vi sedan att det gäller för n = k:

$2^k>k^3$

Då ser vi om vi kan få det att stämma för n = k + 1:

$2^{k+1}>(k+1{)}^3$

Utveckling ger:

$$\begin{gathered} 2·2^k=2^k+2^k \\ {2}^k+2^k>k^3+3k^2+3k+1 \end{gathered}$$

Vi kan ta bort vårt antagande från olikheten, och även byta ut VL så att vi får:

$$\begin{gathered} k^3>3k^2+3k+1 \\ {k}^3-3k^2+3k+1>0 \\ (k-1{)}^3>0 \end{gathered}$$

Vilken slutsats kan då dras?

Smutstvätt skrev :

Bra början!

Då antar vi sedan att det gäller för n = k:

$2^k>k^3$

Då ser vi om vi kan få det att stämma för n = k + 1:

$2^{k+1}>(k+1{)}^3$

Jag stoppar läsa här och försöker utveckla med hoppet att vakna mina trötta neuroner!!

Nope nope nope nope. Försökt att tänka själv har crashat patetiskt.

Vad händer här?

Varför byter du tecken bara framför $3k^2$ , men inte $3k$?

$k^3-3k^2+3k+1>0$

Smutstvätt skrev :

$$\begin{gathered} k^3>3k^2+3k+1 \\ {k}^3-3k^2+3k+1>0 \\ (k-1{)}^3>0 \end{gathered}$$

Vilken slutsats kan då dras?

Morgon Smutsto,

Den här får jag inte till fortfarande! Jag håller med att ${\left(n-1\right)}^3>0$ om $n⩾0$, men när du flyttar allt på andra sidan:

$$\begin{gathered} k^3>3k^2+3k+1 \\ {k}^3-3k^2-3k-1\stackrel{??}{>}0 \end{gathered}$$

När wolfram alfa faktoriserar det mycket snäll åt mig får jag:

som är mycket riktigt större än noll för x=10... 

men det är inte självklart när man ser faktoriseringen.

God morgon Dajo! ;)

Vad är det som är krångligt? :) Det är precis så jag gjort... Fasiken, nu ser jag vad du menar. 

Tanken (med ett oerhört slarvigt utförande) var denna:

$2^{n+1}=2·2^n>2n^3$

Vilket är påståendet. Sedan kan vi förminska detta påstående och ändå visa att det är större än HL:

$$\begin{gathered} 2·2^n>n^3+n^3 \\ 2·2^n>n^3+n^3>n^3+9n^2=n^3+3n^2+6n^2 \\ 2·2^n>n^3+3n^2+6n^2>n^3+3n^2+54n=n^3+3n^2+3n+51n \\ 2·2^n>n^3+3n^2+54n>n^3+3n^2+3n+1 \\ 2·2^n>(n+1{)}^3 \\ {2}^{n+1}>(n+1{)}^3 \end{gathered}$$

Fråga inte hur jag kunde slarva så. Förlåt...

Shit nu måste Dajo hålla på med massor domestiska sysslor, men återkommer snart förhoppningsvis!

Smutstvätt skrev :

 

Fråga inte hur jag kunde slarva så. Förlåt...

Det är lugn!

Jag är inte tillräckligt bekväm med induktion för att inte ens märka hur och var du har slarvat :)

Hej!

Låt $$n>10$$ och visa att

    $$\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{3} < 2.$$

Då följer olikheten $$2^{n+1}>(n+1)^{3}$$ omedelbart från induktionsantagandet att $$2^{n}>n^{3}.$$