Induktion

Det ser ut som att du gjort ett misstag där mot slutet. Sista olikheten borde vara $|sin (kx)cos(x) + cos(kx)sin(x)| \leq k|sin (x)| + |sin (x)|$.

Annars ser det ut som att du är på god väg. Mitt tips är använd dig av triangelolikheten i vänsterledet. D.v.s. du har att $|sin (kx)cos(x) + cos(kx)sin(x)| \leq |sin (kx)cos(x)| + |cos(kx)sin(x)|$, så om du kan visa att $|sin (kx)cos(x)| + |cos(kx)sin(x)| \leq k|sin (x)| + |sin (x)|$ måste också $|sin (kx)cos(x) + cos(kx)sin(x)| \leq k|sin (x)| + |sin (x)|$ och då är du klar.