melinasde är nöjd med hjälpen!
melinasde 217
Postad: 13 feb 2020

Induktionsbevis?

Hej! Jag försöker lösa den här uppgiften med ett induktionsbevs men har lite svårt för när det kommer till bevisdelen, har gjort en påbörjad lösning men vet sen inte hur jag ska fortsätta. Hur ska man använda sig av antagandet för att bevisa satsen?

dr_lund 1163 – Mattecentrum-volontär
Postad: 13 feb 2020 Redigerad: 13 feb 2020

Induktionsantagande: Antag att följande påstående är sant

k=1p2k=2p+1-2\sum_{k=1}^p 2^k=2^{p+1}-2.

Visa att då måste följande också vara sant:

k=1p+12k=2p+2-2\sum_{k=1}^{p+1} 2^k=2^{p+2}-2

Men

k=1p+12k=k=1p2k+2p+1term  p+1\sum_{k=1}^{p+1} 2^k=\sum_{k=1}^{p} 2^k+\underbrace{2^{p+1}}_{term\quad p+1}.

Sätt in induktionsantagandet i första term i HL ovan, och du är hemma

cjan1122 248
Postad: 13 feb 2020 Redigerad: 13 feb 2020

Du antar att formeln gäller för p d.v.s (2p+1-2). Sedan ska du försöka visa att formlens uttryck för p+1 är lika med uttrycket för p plus nästa term i serien.

Med andra ord, kan du bevisa att 2(p+1)+1-2 = 2p+1-2 + 2p+1

melinasde 217
Postad: 13 feb 2020
cjan1122 skrev:

Du antar att formeln gäller för p d.v.s (2p+1-2). Sedan ska du försöka visa att formlens uttryck för p+1 är lika med uttrycket för p plus nästa term i serien.

Med andra ord, kan du bevisa att 2(p+1)+1-2 = 2p+1-2 + 2p+1

förstår inte varför du har ytterligare en term där 2^p+1, är inte sista steget bara att man ersätter n med p+1? Varför ska jag då lägga till 2^p+1 när jag redan har 2^p+1 -2?

cjan1122 248
Postad: 13 feb 2020 Redigerad: 13 feb 2020
melinasde skrev:
cjan1122 skrev:

Du antar att formeln gäller för p d.v.s (2p+1-2). Sedan ska du försöka visa att formlens uttryck för p+1 är lika med uttrycket för p plus nästa term i serien.

Med andra ord, kan du bevisa att 2(p+1)+1-2 = 2p+1-2 + 2p+1

förstår inte varför du har ytterligare en term där 2^p+1, är inte sista steget bara att man ersätter n med p+1? Varför ska jag då lägga till 2^p+1 när jag redan har 2^p+1 -2?

Det formeln antar är ju att summan S(p)= 21+22+23+...+2p = 2p+1-2

Om vi nu ska ta p+1 så får vi undersöka om  S(p+1) = 21+22+23+...+2p+2p+1 = 2(p+1)+1-2                                    S(p)                                         S(p+1)

 

Om S(P) + nästa term i ursprungsserien (2p+1) är lika med S(P+1) så har du bevisat ditt antagande

Börja med att ersätta summan av de p första termerna i vänsterledet med 2p+1 -2 enligt induktionsantagandet. Då blir vänsterledet 2p+1-2+2p+1. Kan du skriva om detta så att det blir till högerledet?

Svara Avbryt
Close