Induktionsbevis?

Induktionsantagande: Antag att följande påstående är sant

$\sum_{k=1}^p 2^k=2^{p+1}-2$.

Visa att då måste följande också vara sant:

$\sum_{k=1}^{p+1} 2^k=2^{p+2}-2$

Men

$\sum_{k=1}^{p+1} 2^k=\sum_{k=1}^{p} 2^k+\underbrace{2^{p+1}}_{term\quad p+1}$.

Sätt in induktionsantagandet i första term i HL ovan, och du är hemma

Du antar att formeln gäller för p d.v.s ($2^{p+1}-2$). Sedan ska du försöka visa att formlens uttryck för p+1 är lika med uttrycket för p plus nästa term i serien.

Med andra ord, kan du bevisa att $2^{(p+1)+1}-2 = 2^{p+1}-2 + 2^{p+1}$

cjan1122 skrev:

Du antar att formeln gäller för p d.v.s ($2^{p+1}-2$). Sedan ska du försöka visa att formlens uttryck för p+1 är lika med uttrycket för p plus nästa term i serien.

Med andra ord, kan du bevisa att $2^{(p+1)+1}-2 = 2^{p+1}-2 + 2^{p+1}$

förstår inte varför du har ytterligare en term där 2^p+1, är inte sista steget bara att man ersätter n med p+1? Varför ska jag då lägga till 2^p+1 när jag redan har 2^p+1 -2?

melinasde skrev:

cjan1122 skrev:

Du antar att formeln gäller för p d.v.s ($2^{p+1}-2$). Sedan ska du försöka visa att formlens uttryck för p+1 är lika med uttrycket för p plus nästa term i serien.

Med andra ord, kan du bevisa att $2^{(p+1)+1}-2 = 2^{p+1}-2 + 2^{p+1}$

förstår inte varför du har ytterligare en term där 2^p+1, är inte sista steget bara att man ersätter n med p+1? Varför ska jag då lägga till 2^p+1 när jag redan har 2^p+1 -2?

Det formeln antar är ju att summan $S\left(p\right)= 2^1+2^2+2^3+...+2^p = 2^{p+1}-2$

Om vi nu ska ta p+1 så får vi undersöka om  $$\begin{gathered} S(p+1) =\underbrace{ 2^1+2^2+2^3+...+2^p}+2^{p+1} = \underbrace{2^{(p+1)+1}-2} \\ S\left(p\right) S(p+1) \end{gathered}$$

Om S(P) + nästa term i ursprungsserien ($2^{p+1}$) är lika med S(P+1) så har du bevisat ditt antagande

Börja med att ersätta summan av de p första termerna i vänsterledet med 2^p+1 -2 enligt induktionsantagandet. Då blir vänsterledet 2^p+1-2+2^p+1. Kan du skriva om detta så att det blir till högerledet?