Inhomogen PDE - värmeledningsekvationen

Hej!

Jag sitter med uppgiften nedan:

Jag hänger inte riktigt med på hur man ska göra. Jag har försökt dela upp problemet i ett homogent och inhomogent problem genom att ansätta $u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)$ , där $v$ är den homogena lösningen, så att vi får:

$\displaystyle v_t(x,t)-v_{xx}(x,t)=0$

$\displaystyle w_t(x,t)-w_{xx}(x,t)=e^{x+t}$

Men hur ska man hantera rand- och initialvillkoren? Hur ändras dem när vi gör om problemet till "två nya" problem?

Man kan ansätta $w(x,t) = f(x)\,e^{x+t}$ , där funktionen $f(x)$ är vald så att

$f(0)=0$
$f(3)=0$
$w^\prime_t - w^{\prime\prime}_{xx} = e^{x+t}$ , d.v.s. $-f^{\prime\prime}(x)-2f^{\prime}(x)=1$

De första två kraven ser till att man bibehåller homogena randvillkor och det sista kravet ser till att man på så sätt konstruerat en partikulär lösning. Denna ansats kan kännas som önsketänkande lite grann, men den kommer att funka då man får en andraordningens ODE för funktionen $f$ vars allmänna lösning har två fria parametrar och vi har två randvillkor.

När man hittat en sådan funktion $f(x)$ (och därmed $w(x,t)$ , så kan man ta fram begynnelsevillkoret för $v$ , då

$v(x,0) = u(x,0) - w(x,0) = \ln(1+x) - f(x)\,e^{x+0}$ .

Tack för förslaget!

Finns det någon ansats eller metod du skulle säga är "standard" för denna typ av problem? Många av problemen i denna kurs är typade och det är meningen att man ska känna igen dem.

Svara