Instagramkluring -- existerar en sådan kontinuerlig funktion f?

Hej!

Under dagens instagram-doomscroll stötte jag på en intressant fråga. Jag har själv inte svaret men jag tror att jag har en lösning. Hur som helst lyder frågan:

Existerar det någon kontinuerlig funktion $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sådan att $f\left(f\left(x\right)\right)=-x$ ?

Kom ihåg att svara med spoilertags för att inte, tja, spoila frågan för andra. Mitt lösningsförslag följer nedan. Jag är väldigt förkyld så det finns en risk att det bara är goja :)

Lösningsförslag

Låt oss anta med att en sådan funktion $f$ existerar. Eftersom $f\left(f\left(a\right)\right)=f\left(f\left(b\right)\right) \Longrightarrow a=b$ , och $f(a)=f(b) \Longrightarrow f\left(f\left(a\right)\right)=f\left(f\left(b\right)\right)$ , har vi $f(a)=f(b) \Longrightarrow a=b$ , vilket innebär att $f$ är injektiv.

Då $f$ är både injektiv och kontinuerlig, måste $f$ vara strikt avtagande eller strikt växande. Notera att oavsett vilket av dessa fall som gäller, är $f\circ f$ strikt växande. Men $f(f(x))=-x$ innebär att $f \circ f$ skulle vara strikt avtagande. Således kan en sådan funktion $f$ inte existera.

$\blacksquare$

Så här skulle jag nog förklara för min äldsta som läser Ma5.

Visa spoiler

Antag att x1 < x2.

Fall 1: f är växande.

Då gäller f(x1) < f(x2).

Eftersom f är växande igen får vi:

f(f(x1)) < f(f(x2)).

Fall 2: f är avtagande.

Då gäller f(x1) > f(x2).

När vi applicerar f en gång till vänds olikheten igen:

f(f(x1)) < f(f(x2)).

I båda fallen blir alltså f(f(x)) strikt växande.

Men eftersom f(f(x)) = -x skulle den vara strikt avtagande.

Motsägelse!

(… vilket väl är precis din lösning, fast utan universitetspoäng. 😀)

Observera hur trivialt problemet blir om man byter ut R mot C i förutsättningen. (f(z)= iz). Lösningen är således helt beroende av om -1 har en kvadratrot eller inte.

Jag är dock inte helt övertygad om de båda lösningsförslagen. I det första åberopas kontinuiteten, varför? I det andra förslaget diskuteras de båda fallen växande respektive avtagande. Men en kontinuerlig fkn behöver inte globalt vara någotdera. Vad sägs om den konstanta fknen f(x)=-1 ? (Det står ju inte att f ska vara surjektiv).

Tomten skrev:
Jag är dock inte helt övertygad om de båda lösningsförslagen. I det första åberopas kontinuiteten, varför? I det andra förslaget diskuteras de båda fallen växande respektive avtagande. Men en kontinuerlig fkn behöver inte globalt vara någotdera. Vad sägs om den konstanta fknen f(x)=-1 ? (Det står ju inte att f ska vara surjektiv).

Visa spoiler

Funktionen, om den existerar, måste vara injektiv. Om $f(a) = f(b)$ följer det att

$-b = f(f(b)) = f(f(a)) = -a$

Svara

Visa senaste svar