Integral
Hej!
Kan någon förklara det här för mig? Jag trodde först att det var alternativ 2, innan jag senare fick veta att att alternativ 3 var rätt.
Kan någon förklara detta för mig? Skulle vara så oerhört tacksam för att jag vill verkligen förstå varför!
Om du ritar upp möjliga grafer på ett rutat papper så ser du att du får en yta under grafen på minst 6 rutor.
Hela området är 12 rutor, men att få med hela denna yta vet jag inte om det går?
Möjligen med en fyrkantsvåg?
Rätt svar är #4 "Inget av föregående alternativ"
Kalla integralens värde I.
Vi börjar med att försöka ta reda på integralens minsta värde. Om f(x) vore konstant lika med 2 i hela intervallet, dvs om grafen till f(x) vore den horisontella linjen y = 2 i hela intervallet, så skulle integralens värde vara lika med 6.
Men eftersom f(x) även antar värdet 4 i åtminstone en punkt och grafen mellan dessa två nivåer inte är vertikal* så kommer integralens värde alltid att vara större än 6. Det gäller alltså att I > 6.
========
Nästa steg är att försöka ta reda på integralens största värde. Om f(x) vore konstant lika med 4 i hela intervallet, dvs om grafen till f(x) vore den horisontella linjen y = 4 i hela intervallet, så skulle integralens värde vara lika med 12.
Men eftersom f(x) även antar värdet 2 i åtminstone en punkt och grafen mellan dessa två nivåer inte är vertikal* så kommer integralens värde alltid att vara mindre än 12. Det gäller alltså att I < 12.
=========
Sanmantaget ger det 6 < I < 12 och alltså är inget av alternativen rätt.
==========
* Grafen kan inte vara vertikal, eftersom är en funktion, vilket innebär att det för varje värde på endast finns ett värde på .
Att är kontinuerlig innebär att grafen inte innehåller några "hopp", dvs den kan ritas utan att lyfta pennan.
Därför måste övergången mellan f(x) = 2 och f(x) = 4 ha en viss utbredning i x-led och detta ger ett bidrag till integralens värde.
Yngve skrev:Rätt svar är #4 "Inget av föregående alternativ"
Kalla integralens värde I.
Vi börjar med att försöka ta reda på integralens minsta värde. Om f(x) vore konstant lika med 2 i hela intervallet, dvs om grafen till f(x) vore den horisontella linjen y = 2 i hela intervallet, så skulle integralens värde vara lika med 6.
Men eftersom f(x) även antar värdet 4 i åtminstone en punkt och grafen mellan dessa två nivåer inte är vertikal* så kommer integralens värde alltid att vara större än 6. Det gäller alltså att I > 6.
========
Nästa steg är att försöka ta reda på integralens största värde. Om f(x) vore konstant lika med 4 i hela intervallet, dvs om grafen till f(x) vore den horisontella linjen y = 4 i hela intervallet, så skulle integralens värde vara lika med 12.
Men eftersom f(x) även antar värdet 2 i åtminstone en punkt och grafen mellan dessa två nivåer inte är vertikal* så kommer integralens värde alltid att vara mindre än 12. Det gäller alltså att I < 12.
=========
Sanmantaget ger det 6 < I < 12 och alltså är inget av alternativen rätt.
==========
* Grafen kan inte vara vertikal, eftersom är en funktion, vilket innebär att det för varje värde på endast finns ett värde på .
Att är kontinuerlig innebär att grafen inte innehåller några "hopp", dvs den kan ritas utan att lyfta pennan.
Därför måste övergången mellan f(x) = 2 och f(x) = 4 ha en viss utbredning i x-led och detta ger ett bidrag till integralens värde.
Intressant. Är du helt säker att det inte kan vara alternativ 3?
Yngve skrev:Rätt svar är #4 "Inget av föregående alternativ"
Kalla integralens värde I.
Vi börjar med att försöka ta reda på integralens minsta värde. Om f(x) vore konstant lika med 2 i hela intervallet, dvs om grafen till f(x) vore den horisontella linjen y = 2 i hela intervallet, så skulle integralens värde vara lika med 6.
Men eftersom f(x) även antar värdet 4 i åtminstone en punkt och grafen mellan dessa två nivåer inte är vertikal* så kommer integralens värde alltid att vara större än 6. Det gäller alltså att I > 6.
========
Nästa steg är att försöka ta reda på integralens största värde. Om f(x) vore konstant lika med 4 i hela intervallet, dvs om grafen till f(x) vore den horisontella linjen y = 4 i hela intervallet, så skulle integralens värde vara lika med 12.
Men eftersom f(x) även antar värdet 2 i åtminstone en punkt och grafen mellan dessa två nivåer inte är vertikal* så kommer integralens värde alltid att vara mindre än 12. Det gäller alltså att I < 12.
=========
Sanmantaget ger det 6 < I < 12 och alltså är inget av alternativen rätt.
==========
* Grafen kan inte vara vertikal, eftersom är en funktion, vilket innebär att det för varje värde på endast finns ett värde på .
Att är kontinuerlig innebär att grafen inte innehåller några "hopp", dvs den kan ritas utan att lyfta pennan.
Därför måste övergången mellan f(x) = 2 och f(x) = 4 ha en viss utbredning i x-led och detta ger ett bidrag till integralens värde.
Hittade något som kanske skulle hjälpa 
ConnyN skrev:Om du ritar upp möjliga grafer på ett rutat papper så ser du att du får en yta under grafen på minst 6 rutor.
Hela området är 12 rutor, men att få med hela denna yta vet jag inte om det går?
Möjligen med en fyrkantsvåg?
Är inte riktigt med på spåret
Fysikguden1234 skrev:
Intressant. Är du helt säker att det inte kan vara alternativ 3?
Ja, jag är helt säker.
Integralen kan varken anta värdet 6 eller 12, men däremot alla värden däremellan.
Om det skulle stå istället för på båda ställena i alternativ 3 så skulle det vara rätt svar.
Det kan ju vara så att de som skapade uppgiften inte tänkte på den skillnaden och att det därför står fel i facit.
Fysikguden1234 skrev:ConnyN skrev:Om du ritar upp möjliga grafer på ett rutat papper så ser du att du får en yta under grafen på minst 6 rutor.
Hela området är 12 rutor, men att få med hela denna yta vet jag inte om det går?
Möjligen med en fyrkantsvåg?Är inte riktigt med på spåret
Om du ritar en y-axel och x-axel och graderar dem från noll till fem.
Då ska din kurva ligga mellan 2 och 4 på y-axeln och ytan mellan kurvan och x-axeln finns mellan x = 0 och x= 3
Då om du har ritat på ett rutat papper där varje ruta är en enhet så har du två rader som kurvan inte når ner till.
Där har du de sex tomma rutorna.
Sen är det precis som Yngve konstaterar inte möjligt att ytan kan bli varken 6 eller 12 enheter utan måste vara någonstans däremellan.
Även om man får till en fin fyrkantsvåg så tar det en viss tid för t.ex. en spänningsnivå i en elkrets att stiga från 2 till 4 Volt.
Så med en sådan graf kan man komma nära 6 och 12 areaenheter, men inte helt och hållet.
Prova att rita några exempel så tror jag att du förstår.
ConnyN skrev:Fysikguden1234 skrev:ConnyN skrev:Om du ritar upp möjliga grafer på ett rutat papper så ser du att du får en yta under grafen på minst 6 rutor.
Hela området är 12 rutor, men att få med hela denna yta vet jag inte om det går?
Möjligen med en fyrkantsvåg?Är inte riktigt med på spåret
Om du ritar en y-axel och x-axel och graderar dem från noll till fem.
Då ska din kurva ligga mellan 2 och 4 på y-axeln och ytan mellan kurvan och x-axeln finns mellan x = 0 och x= 3Då om du har ritat på ett rutat papper där varje ruta är en enhet så har du två rader som kurvan inte når ner till.
Där har du de sex tomma rutorna.
Sen är det precis som Yngve konstaterar inte möjligt att ytan kan bli varken 6 eller 12 enheter utan måste vara någonstans däremellan.
Även om man får till en fin fyrkantsvåg så tar det en viss tid för t.ex. en spänningsnivå i en elkrets att stiga från 2 till 4 Volt.
Så med en sådan graf kan man komma nära 6 och 12 areaenheter, men inte helt och hållet.Prova att rita några exempel så tror jag att du förstår.
Ok! Men vad är det exakta värdet av kurvan? Det måste jag ju också veta så att jag kan rita in den
ConnyN skrev:Fysikguden1234 skrev:ConnyN skrev:Om du ritar upp möjliga grafer på ett rutat papper så ser du att du får en yta under grafen på minst 6 rutor.
Hela området är 12 rutor, men att få med hela denna yta vet jag inte om det går?
Möjligen med en fyrkantsvåg?Är inte riktigt med på spåret
Om du ritar en y-axel och x-axel och graderar dem från noll till fem.
Då ska din kurva ligga mellan 2 och 4 på y-axeln och ytan mellan kurvan och x-axeln finns mellan x = 0 och x= 3Då om du har ritat på ett rutat papper där varje ruta är en enhet så har du två rader som kurvan inte når ner till.
Där har du de sex tomma rutorna.
Sen är det precis som Yngve konstaterar inte möjligt att ytan kan bli varken 6 eller 12 enheter utan måste vara någonstans däremellan.
Även om man får till en fin fyrkantsvåg så tar det en viss tid för t.ex. en spänningsnivå i en elkrets att stiga från 2 till 4 Volt.
Så med en sådan graf kan man komma nära 6 och 12 areaenheter, men inte helt och hållet.Prova att rita några exempel så tror jag att du förstår.
Den kan väl visst bli 6 och 12? Jag förstår fortfarande inte varför den inte kan bli det
Vi vet bara att den rör sig inom y = 2 och y = 4 mellan x = 0 och x = 3
Hur den ser ut har vi ingen aning om. Det finns väldigt många möjligheter, men den kommer inte att beröra området under y= 2.
Därför vet vi att de sex rutorna ingår i summan av ytan.
ConnyN skrev:Vi vet bara att den rör sig inom y = 2 och y = 4 mellan x = 0 och x = 3
Hur den ser ut har vi ingen aning om. Det finns väldigt många möjligheter, men den kommer inte att beröra området under y= 2.
Därför vet vi att de sex rutorna ingår i summan av ytan.
Precis! Men den kan fortfarande vara lika med två eller lika med 4
Fysikguden1234 skrev:ConnyN skrev:Fysikguden1234 skrev:ConnyN skrev:Om du ritar upp möjliga grafer på ett rutat papper så ser du att du får en yta under grafen på minst 6 rutor.
Hela området är 12 rutor, men att få med hela denna yta vet jag inte om det går?
Möjligen med en fyrkantsvåg?
Den kan väl visst bli 6 och 12? Jag förstår fortfarande inte varför den inte kan bli det
Försök att rita en sådan graf så att ytan blir 6 eller 12.
Det är bara en fyrkantsvåg som kan åstadkomma nästan 12, men som jag skrev och som Yngve konstaterade så kan den inte gå från 2 till 4 på nolltid. Någon liten tid krävs alltid.
ConnyN skrev:Fysikguden1234 skrev:ConnyN skrev:Fysikguden1234 skrev:ConnyN skrev:Om du ritar upp möjliga grafer på ett rutat papper så ser du att du får en yta under grafen på minst 6 rutor.
Hela området är 12 rutor, men att få med hela denna yta vet jag inte om det går?
Möjligen med en fyrkantsvåg?
Den kan väl visst bli 6 och 12? Jag förstår fortfarande inte varför den inte kan bli det
Försök att rita en sådan graf så att ytan blir 6 eller 12.
Det är bara en fyrkantsvåg som kan åstadkomma nästan 12, men som jag skrev och som Yngve konstaterade så kan den inte gå från 2 till 4 på nolltid. Någon liten tid krävs alltid.
Ursäkta men förstår inte detta koncept. Jag har ju redan ritat en graf där ytan blir 6 eller 12 (vet inte om du såg bilden jag skickade) Den kan ju inte hoppa från 2,000001 till 3,99999 på nolltid heller men av någon anledning är det acceptabelt. Har svårt att begripa detta koncept som sagt
Fysikguden1234 skrev:
Ursäkta men förstår inte detta koncept. Jag har ju redan ritat en graf där ytan blir 6 eller 12 (vet inte om du såg bilden jag skickade) Den kan ju inte hoppa från 2,000001 till 3,99999 på nolltid heller men av någon anledning är det acceptabelt. Har svårt att begripa detta koncept som sagt
Ja rent teoretiskt borde vi ju kunna ha en fyrkantsvåg som antingen går upp eller också ner vid intervallet.
Hade det varit en fysikuppgift så tror jag resonemanget håller, men från ett matematiskt betraktelsesätt är det nog tveksamt eftersom det som sagt tar en liten tid.
Vi får se vad våra matematiker svarar?
Eftersom f(x) är kontinuerlig så kan dess värde inte hoppa mellan 2 och 4 utan att anta alla mellanliggande värden.
Eftersom f(x) är en funktion så kan varje värde på x endast ge ett värde till funktionen. Det betyder att funktionens graf aldrig är vertikal, vilket i sin tur innebär att varje övergång mellan värdet 2 och värdet 4 sker under ett nollskilt intervall, vilket i sin tur innebär att dessa övergångar motsvarar ett litet bidrag till integralens värde.
För att integralens värde ska kunna vara så lågt som 6 så kräver det att f(x) = 2 i hela intervallet . Så är inte fallet eftersom det finns åtminstone en punkt där f(x) = 4.
För att integralens värde ska kunna vara så högt som 12 så kräver det att f(x) = 4 i hela intervallet . Så är inte fallet eftersom det finns åtminstone en punkt där f(x) = 2.
Yngve skrev:Eftersom f(x) är kontinuerlig så kan dess värde inte hoppa mellan 2 och 4 utan att anta alla mellanliggande värden.
Eftersom f(x) är en funktion så kan varje värde på x endast ge ett värde till funktionen. Det betyder att funktionens graf aldrig är vertikal, vilket i sin tur innebär att varje övergång mellan värdet 2 och värdet 4 sker under ett nollskilt intervall, vilket i sin tur innebär att dessa övergångar motsvarar ett litet bidrag till integralens värde.
För att integralens värde ska kunna vara så lågt som 6 så kräver det att f(x) = 2 i hela intervallet . Så är inte fallet eftersom det finns åtminstone en punkt där f(x) = 4.
För att integralens värde ska kunna vara så högt som 12 så kräver det att f(x) = 4 i hela intervallet . Så är inte fallet eftersom det finns åtminstone en punkt där f(x) = 2.
Nu när jag sett förklaringen i tråden "Avläs i graf" så förstår jag bättre. Skillnaden är som Yngve konstaterar att här kan x endast ge ett värde, men titta gärna på tråden som jag länkat till ovan så ser vi att där måste vi använda två värden på x för att få ett intervall där grafen är avtagande vilket den här uppgiften inte handlar om.
