Integral

Testa integrera partiellt. Ser ut som du kommer behöva göra det två gånger, sedan bör du få ett svar.

Tips: $\int (arcsinx)^2dx=\int arcsin(x)\cdot arcsin(x)dx$.

Du har att

${\int }_0^{1/2}(arc\sin x{)}^{2}dx={\overline{)x arc{\sin }^{2}x}}_0^{1/2}-{\int }_0^{1/2}\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}arc\sin (x)dx$

Sedan gäller det att

$$\begin{gathered} {\int }_0^{1/2}\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}arc\sin \left(x\right)dx={\overline{)-\sqrt{1-x^2}arc\sin \left(x\right)}}_0^{1/2}+{\int }_0^{1/2}1dx \\ =-\frac{\sqrt{3}\pi }{12}+\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Så sätter man in detta i första integralen så får man

${\int }_0^{1/2}\left(arc\sin \right(x){)}^{2}dx=\frac{1}{2}\frac{{\pi }^2}{36}-2\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}\pi }{12}\right)=\frac{{\pi }^2}{72}+\frac{\sqrt{3}\pi }{6}-1$

Du kan också använda dig av variabelsubstitution så att det blir lättare att få bort acrsinx med du kommer ändå behöva partialintegration snare.

statement skrev :

Du kan också använda dig av variabelsubstitution så att det blir lättare att få bort acrsinx med du kommer ändå behöva partialintegration snare.

Precis, tänkte just föreslå $\int_0^{1/2}(\arcsin(x))^2\mathrm{d}x=\int_0^{\pi/6}t^2cos(t)\mathrm{d}t$

Great minds think alike säger de ju :)