integral

Villkoret $x+y\leq 0$ ger $y\leq-x$, rita upp linjen $y=-x$ i xy-planet.

På vilken sida av linjen gäller $x+y\leq 0$? Markera i din figur.

Vad blir alltså gränserna för vinkeln $\varphi$?

Nej, om du tittar på punkten (4,-2) så ligger den i ditt markerade område, men $x+y=4+(-2)=2$ och det är ju STÖRRE än 0, men villkoret var $x+y\leq 0$

Ser du?

nu ser jag, så vi måste testa vilken punkter som medför att x+y är mindra eller lika med noll

Ja, men du inser snart att det gäller alla punkter till vänster om linjen $y=-x$ i det lila området.

Vad ska vinkeln $\varphi$ vara då?

Hej, igen,  vi har 45 grader mellan linjerna y=0, och y=-x, därmed 45 i andra kvadrant svarar mot 3*pi/4, och i fjärde kvadrant är vinkelen lik 7*pi/4. om det är rätt

Ja, bra Suad!

Kan du nu beräkna integralen?

4*int(r^3)*int(cos*sin)*int((1/(1+sin^2)))

hej, jag får svaret (45*pi)/2

är detta rätt

Nej, kanske har du gjort fel i substitutionen?

Du verkar ha rätt integral, men fel svar.

ok, nu tror jag att jag gjorde rätt 

ska det vara (45*pi)/4

Nej, visa dina räkningar så kanske vi kan hitta felet. Förmodligen har du krånglat till integralen

$\displaystyle \int \frac{\sin(\theta)\cos(\theta)}{1+\sin^2(\theta)}\mathrm{d}\theta$

OKej, jag tror jag har hittat ditt fel

Det gäller att $x^2+y^2=r^2\sin^2(\theta)$

Inte $\varphi$

Integralen är

$\displaystyle \int_{r=1}^2\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=3\pi/4}^{7\pi/4}\frac{4r^3\sin(\theta)\cos(\theta)}{1+\sin^2(\theta)}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi$

hej, igen 

nu fick jag svaret (15/2)*pi*1n(2), och är detta rät

jag undrar också på detta: så när vi ska hitta intervallet för radien ser vi på villkoret som ges av klotet. och när vi ska hitta intervallet för vinkelen ser vi på vilkoret för z, till exempel om vi har z>0, ger detta att vinkelen-θ  ligg mellan noll och pi/2. 

och för den sista vinkelen-φ tittar vi på om området har begränsningar i form av y=+-x.

så stämmer detta eller inte. 

alltså vilken princip kan jag använde när jag ska lösa sådana integraler. 

och tack på förhand. 

Ja, svaret är $\frac{15\pi}{2}\ln(2)$. Bra!

Och jag tycker att du diskuterar korrekt när du identifierar dina gränser för integralen.

Det svåra är kanske att inse att $x+y\leq 0$ är det vänstra området om linjen $y=-x$

Du kan alltid testa att sätta in några punkter (t.ex. (4,-2)) och se om de gränser du satt upp uppfyller olikheten i rätt område.

tack så mycket, det var till stor hjälp