Integral med odefinerat gränsvärde

Beräkna den generaliserade integralen, eller visa att den är divergent

$\int_{0}^{1} \ln x$

--------------------------------------------------------------------------------Partialbråksuppdelning: $\int_{0}^{1} 1 * \ln x = x \ln x - \int x * \frac{1}{x} = x \ln x - \int_{}^{} 1 = x \ln x - x + D$

men lnx kommer inte vara definerad för x=0

$\lim_{c^{+} \to 1} x \ln x - x$ = 0*ln(0)-0. Här går ln(0) mot - $\infty$ även om det inte syns direkt. (Lära sig utantill?)

Så gränsvärdet går mot $- \infty * 0 - 0$ .

$Ä r d e t o k e j a t t s ä g a a t t d e t t a b l i r 0 ?$

Om man kan anta att dett går mot 0:

${[x \ln x - x]}_{0}^{1} = - 1 - (0) = - 1$

$B e r ä t t a o c k s å j ä t t e g ä r n a o m h u r m a n s k r i v e r n o t a t i o n e n k o r r e k t, d e t ä r j a g r i k t i g t d å l i g p å$

Tack på förhand! :)

Du kan tänka dig att $\ln x \to -\infty$ då $x\to 0^+$ eftersom $e^x \to 0$ när $x\to -\infty$ (tänk på hur dessa är varandras inverser!).

Det stämmer att $x\ln x \to 0$ när $x\to 0^+$ (och värdet $-1$ är korrekt), men att dra den slutsatsen från att gränsvärdet blir " $-\infty\cdot 0$ " är inte giltigt. Exempelvis går $\frac{-1}{x^2} \cdot x^2$ också "mot" $-\infty \cdot 0$ när $x\to 0$ , men själva uttrycket går såklart mot $-1$ , inte $0$ .

Vi måste motivera varför $x\ln x \to 0$ när $x\to 0^+$ . Ett tips är att utnyttja en variabelsubstitution för att få bort logaritmen. Har du några ideer?

AlexMu skrev:
Du kan tänka dig att $\ln x \to -\infty$ då $x\to 0^+$ eftersom $e^x \to 0$ när $x\to -\infty$ (tänk på hur dessa är varandras inverser!).

Det stämmer att $x\ln x \to 0$ när $x\to 0^+$ (och värdet $-1$ är korrekt), men att dra den slutsatsen från att gränsvärdet blir " $-\infty\cdot 0$ " är inte giltigt. Exempelvis går $\frac{-1}{x^2} \cdot x^2$ också "mot" $-\infty \cdot 0$ när $x\to 0$ , men själva uttrycket går såklart mot $-1$ , inte $0$ .

Vi måste motivera varför $x\ln x \to 0$ när $x\to 0^+$ . Ett tips är att utnyttja en variabelsubstitution för att få bort logaritmen. Har du några ideer?

$t = \ln x$

$\frac{d t}{d x} = \frac{1}{x}$

$x d t = d x$

$t = \ln x e^{t} = e^{\ln x} = x$

då blir: xlnx-x dx=

$x \ln x - x * x d t = x^{2} \ln x - x^{2} x^{2} (\ln x - 1)$

$e^{2 t} (t - 1) d t$

Här är samma problem igen :(

Nytt sätt!:

Vi utgår från xlnx= $\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$

Derivera ger: $\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}} = \frac{1}{x} * \frac{- x^{2}}{1} = - x$

$\frac{- x^{2}}{2} + D$ blir den nya primitiva varianten av båda funktionerna och när x går mot 0 så går också -x^2/2 0. Konstanten spelar ingen roll sedan vid integrationen.

Låt mig veta om det här är helt åt skogen

Nu är det nog något på tok. Hur har du deriverat $x\ln x$ ? Derivatan är $1+ \ln x$ . Hur som helst tror jag inte att du behöver derivera för att motivera att det går mot noll.

Jag skulle föreslå samma variabelbyte som du redan hade, nämligen $t=\ln x$ . Nedan har jag ett lösningsförslag om du vill tjuvkika.

Lösningsförslag

Vi har att

$\displaystyle \lim_{x \to 0} x\ln x=\lim_{t\to-\infty} te^t$

Om vi är lite kluriga kan vi skriva om detta:

$\displaystyle \lim_{t\to\infty} \frac{-t}{e^t}$

och nu är det oproblematiskt att se att då $t\to\infty$ växer $e^t$ extremt mycket fortare än $t$ , så hela gränsvärdet måste gå mot noll.

naytte skrev:
Nu är det nog något på tok. Hur har du deriverat $x\ln x$ ? Derivatan är $1+ \ln x$ . Hur som helst tror jag inte att du behöver derivera för att motivera att det går mot noll.

Jag skulle föreslå samma variabelbyte som du redan hade, nämligen $t=\ln x$ . Nedan har jag ett lösningsförslag om du vill tjuvkika.

Lösningsförslag

Vi har att

$\displaystyle \lim_{x \to 0} x\ln x=\lim_{t\to-\infty} te^t$

Om vi är lite kluriga kan vi skriva om detta:

$\displaystyle \lim_{t\to\infty} \frac{-t}{e^t}$

och nu är det oproblematiskt att se att då $t\to\infty$ växer $e^t$ extremt mycket fortare än $t$ , så hela gränsvärdet måste gå mot noll.

Tack så mycket allihopa, ni är grymma! <3

Svara

Visa senaste svar