integraler (Matematik/Matte 5)

Hur ser rotationskroppen ut? Lägg upp en bild här! Det är jättesvårt att hitta gränserna utan en bra bild.

Smaragdalena skrev:
Hur ser rotationskroppen ut? Lägg upp en bild här! Det är jättesvårt att hitta gränserna utan en bra bild.

Okej!

Här är grafen:

Skalens höjd är inte 5x²-10.
Radien är inte 10 då x = 2

Rita ut en horisontell linje på den höjd som ger radien 10.

Yngve skrev:
Skalens höjd är inte 5x²-10. Rita!

Förlåt, nu förstår jag inte. Vadå skalens? Har jag missuppfattat konceptet?

villsovaa skrev:

Förlåt, nu förstår jag inte. Vadå skalens? Har jag missuppfattat konceptet?

Skalmetoden går ut på att dela upp rotationskroppen i en stor mängd cylindriska skal runt rotationsaxeln.

Varje cylindriskt skal har en viss radie, en viss omkrets, en viss höjd och en viss tjocklek.

Hur är själva uppgiften formulerad? Lägg upp en bild, eller skriv av ord för ord.

Smaragdalena skrev:
Hur är själva uppgiften formulerad? Lägg upp en bild, eller skriv av ord för ord.

Ingen uppgift, ville bara testa göra om från skivmetod till skalmetod självmant.

Yngve skrev:

Skalens höjd är inte 5x²-10.

Radien är inte 10 då x = 2

Rita ut en horisontell linje på den höjd som ger radien 10.

Jo, där x=2 så är ju y=10 dvs radien?? Vad menar du med skalens höjd? Jag följer ju bara formeln?

villsovaa skrev:

Jo, där x=2 så är ju y=10 dvs radien?? Vad menar du med skalens höjd? Jag följer ju bara formeln?

Att bara följa en formel vid volymberäkning av rotationskroppar innebär att risken för fel är gigantisk.

Att istället börja med att förstå hur rotationskroppen ser ut, välja integrationsmetod, fundera fram integrand och integrationsgränser minskar felrisken avsevärt.

==========

Tänk dig att grafen till y = 5x-10 roterar ett varv runt y-axeln.
Det bildas då en "skål" som du säger.
Om du tittar på skålen uppifrån så ser du att den har ett cirkelformat tvärsnitt.
Denna cirkel har en radie som inte är lika med y.
Markera radien i din bild.

Kommer du vidare då?

Yngve skrev:
villsovaa skrev:

Jo, där x=2 så är ju y=10 dvs radien?? Vad menar du med skalens höjd? Jag följer ju bara formeln?

Att bara följa en formel vid volymberäkning av rotationskroppar innebär att risken för fel är gigantisk.

Att istället börja med att förstå hur rotationskroppen ser ut, välja integrationsmetod, fundera fram integrand och integrationsgränser minskar felrisken avsevärt.

==========

Tänk dig att grafen till y = 5x-10 roterar ett varv runt y-axeln.

Det bildas då en "skål" som du säger.

Om du tittar på skålen uppifrån så ser du att den har ett cirkelformat tvärsnitt.

Denna cirkel har en radie som inte är lika med y.

Markera radien i din bild.

Kommer du vidare då?

Men då är ju radien 2?

Yngve skrev:
villsovaa skrev:

Jo, där x=2 så är ju y=10 dvs radien?? Vad menar du med skalens höjd? Jag följer ju bara formeln?

Att bara följa en formel vid volymberäkning av rotationskroppar innebär att risken för fel är gigantisk.

Att istället börja med att förstå hur rotationskroppen ser ut, välja integrationsmetod, fundera fram integrand och integrationsgränser minskar felrisken avsevärt.

==========

Tänk dig att grafen till y = 5x-10 roterar ett varv runt y-axeln.

Det bildas då en "skål" som du säger.

Om du tittar på skålen uppifrån så ser du att den har ett cirkelformat tvärsnitt.

Denna cirkel har en radie som inte är lika med y.

Markera radien i din bild.

Kommer du vidare då?

Tror jag sa fel. Menar att jag ska beräkna skålens volym när höjden är 10. Inte radien. Ber om ursäkt. Men behöver fortfarande hjälp då jag inte förstår.

Ok bra, men vad menar du med "höjd"?

Menar du egentligen skålens djup?

Kan du markera i din bild vilket mått som ska vara 10 cm?

Yngve skrev:
Ok bra, men vad menar du med "höjd"?

Menar du egentligen skålens djup?

Kan du markera i din bild vilket mått som ska vara 10 cm?

Ja exakt, skålens djup. det blir egentligen att skålens djup är 20 cm, eftersom jag inte vill ta bort bottendelen än, vill få det att funka med formeln först. men egentligen ska skålen se ut så här:

Men som sagt, vill ha hela volymen först. Så skålens djup=20 cm.

Om det är den orangefärgade delen som motsvarar det du vill räkna ut finns det ingen anledning att beräkna volymen för hela grejen från y = -10 till y = 10. Du har dels en cylinder med radien 1,4 ungefär (du behöver räkna ut det värdet exakt), dels en massa cylindriska skal som sträcker sig från den gröna linjen till y = 10, där x går från 1,4 till 2.

Smaragdalena skrev:
Om det är den orangefärgade delen som motsvarar det du vill räkna ut finns det ingen anledning att beräkna volymen för hela grejen från y = -10 till y = 10. Du har dels en cylinder med radien 1,4 ungefär (du behöver räkna ut det värdet exakt), dels en massa cylindriska skal som sträcker sig från den gröna linjen till y = 10, där x går från 1,4 till 2.

Ja fast hur kan detta tillämpas med skalmetoden? Och varför är metoden jag skrev i början fel?

Uppgiften går att lösa på flera olika sätt.

Om du vill använda Smaragdalenas metod så går det bra. Dåberäknar du förstvoltmen av den cirkulära cylindern i mitten (rödmarkerad) och sedan adderar du volymen av delen utanför cylindern (blåmarkerad).

Denna yttre volym går bra att beräna med skalmetiden, men du måste då ta fram ett korrekt uttryck för skalens höjd h. Om du ritar skalens höjd så blir det lättare för dig att se vilket detta uttryck är.

Orsaken till varför din första metod är fel är att det uttryck du tror beskriver djupet i själva verket är något helt annat.

Yngve skrev:
Uppgiften går att lösa på flera olika sätt.

Om du vill använda Smaragdalenas metod så går det bra. Dåberäknar du förstvoltmen av den cirkulära cylindern i mitten (rödmarkerad) och sedan adderar du volymen av delen utanför cylindern (blåmarkerad).

Denna yttre volym går bra att beräna med skalmetiden, men du måste då ta fram ett korrekt uttryck för skalens höjd h. Om du ritar skalens höjd så blir det lättare för dig att se vilket detta uttryck är.

Orsaken till varför din första metod är fel är att det uttryck du tror beskriver djupet i själva verket är något helt annat.

Varför kan man inte beräkna hela volymen med skalmetoden? Och hur ska jag gå till väga för att finna den riktiga funktionen? för enligt genomgångar på internet så ska man bara sätta in funktionen. Men då ser grafen annorlunda ut förvisso. Förstår ändå inte dock.

villsovaa skrev:
Varför kan man inte beräkna hela volymen med skalmetoden?

Du kan inte beräkna hela volymen i ett enda steg med hjälp av skalmetoden. Detta eftersom skålens djup, dvs skalens höjd, dvs integranden, ser olika ut beroende på om radien är mindre än eller större än $\sqrt{2}$ .

Markera skålens djup i de två fallen så blir det nog tydligt.

Och hur ska jag gå till väga för att finna den riktiga funktionen? för enligt genomgångar på internet så ska man bara sätta in funktionen. Men då ser grafen annorlunda ut förvisso. Förstår ändå inte dock.

Börja med att rita in skålens djup i de olika fallen. Tänk dig att du fyller skålen med cylindriska skal runt y-axeln. Ange uttryck för dessa skals radie r, omkrets o, höjd h och tjocklek dr.

Varje skal har då volymen o•h•dr. Det är detta uttryck du ska integrera.

Yngve skrev:
villsovaa skrev:
Varför kan man inte beräkna hela volymen med skalmetoden?

Du kan inte beräkna hela volymen i ett enda steg med hjälp av skalmetoden. Detta eftersom skålens djup, dvs skalens höjd, dvs integranden, ser olika ut beroende på om radien är mindre än eller större än $\sqrt{2}$ .

Markera skålens djup i de två fallen så blir det nog tydligt.

Och hur ska jag gå till väga för att finna den riktiga funktionen? för enligt genomgångar på internet så ska man bara sätta in funktionen. Men då ser grafen annorlunda ut förvisso. Förstår ändå inte dock.

Börja med att rita in skålens djup i de olika fallen. Tänk dig att du fyller skålen med cylindriska skal runt y-axeln. Ange uttryck för dessa skals radie r, omkrets o, höjd h och tjocklek dr.

Varje skal har då volymen o•h•dr. Det är detta uttryck du ska integrera.

aha okej. Men hur vet jag hur många skal jag ska ha? Förlåt, har varken fått en genomgång på detta eller nåt, försöker lista ut metoden själv.

När antalet skal går mot oändligheten så går integralens värde mot volymen.

Det här är samma typ av tänk som at när antalet skivor i skivmetoden går mot oändligheten så går integralens värde not volymen.

=========

Skalmetoden i korthet:

Tänk dig att rotationskroppen delas upp i cirkulärcylindriska skal runt rotationsaxeln (tänk dig en massa runda konservburkar utan lock och botten, med olika radie och olika höjd).

Varje skal (burk) har en viss radie r och därmed en viss omkrets 2pi•r.

Varje skal (burk) har en viss höjd h (som ofta beror av radien r), dvs h(r).

Varje skal (burk) har en tjocklek dr.

Volymen som ett sådant skal (burk) upptar är då dV(r) = 2pi•r•h(r)•dr.

Om du nu summerar (integrerar) alla dessa volymbidrag från den inre radien (ofta 0) till den yttre radien så får du fram hela volymen.

Yngve skrev:
När antalet skal går mot oändligheten så går integralens värde mot volymen.

Det här är samma typ av tänk som at när antalet skivor i skivmetoden går mot oändligheten så går integralens värde not volymen.

=========

Skalmetoden i korthet:

Tänk dig att rotationskroppen delas upp i cirkulärcylindriska skal runt rotationsaxeln (tänk dig en massa runda konservburkar utan lock och botten, med olika radie och olika höjd).

Varje skal (burk) har en viss radie r och därmed en viss omkrets 2pi•r.

Varje skal (burk) har en viss höjd h (som ofta beror av radien r), dvs h(r).

Varje skal (burk) har en tjocklek dr.

Volymen som ett sådant skal (burk) upptar är då dV(r) = 2pi•r•h(r)•dr.

Om du nu summerar (integrerar) alla dessa volymbidrag från den inre radien (ofta 0) till den yttre radien så får du fram hela volymen.

Varför kunde personen i exempelvis denna video https://www.youtube.com/watch?v=AkH3Cpl_hsY tillämpa skalmetoden för hela figuren i ett enda steg? Vad är skillnaden?

Den rotarionskroppen är annorlunda än din.

Om du ritar höjderna på cylindrarna så ser du nog på vilket sätt den är annorlunda.

Yngve skrev:
Den rotarionskroppen är annorlunda än din.

Om du ritar höjderna på cylindrarna så ser du nog på vilket sätt den är annorlunda.

Förstår fortfarande inte riktigt hur jag ska rita dem. Känner mig lite dum nu.

Ställ en konservburk med radien 1 cm mitt i din skål. Den ska nå upp till skålens överkant. Hur hög är d3n burken?

Ställ en konservburk med radien 1,5 cm mitt i din skål. Den ska nå upp till skålens överkant. Hur hög är den burken?

Yngve skrev:
Ställ en konservburk med radien 1 cm mitt i din skål. Den ska nå upp till skålens överkant. Hur hög är d3n burken?

Ställ en konservburk med radien 1,5 cm mitt i din skål. Den ska nå upp till skålens överkant. Hur hög är den burken?

första blir ju 10 cm i höjd. andra blir väl 8 cm i höjd. Men de staplas väl inte på varandra?

Yngve skrev:
Ställ en konservburk med radien 1 cm mitt i din skål. Den ska nå upp till skålens överkant. Hur hög är d3n burken?

Ställ en konservburk med radien 1,5 cm mitt i din skål. Den ska nå upp till skålens överkant. Hur hög är den burken?

Ok jag har kommit fram till uttrycket $2 π \int_{0}^{2} (x (10 - (5 x^{2} - 10))) d x$

fortfarande fel dock. Tänkte att höjden alltid är 10-y(x), men fel.

villsovaa skrev:

första blir ju 10 cm i höjd. andra blir väl 8 cm i höjd. Men de staplas väl inte på varandra?

10 cm stämmer, men 8 cm stämmer inte.

Rita in dessa mått i bilden i svar #14 så kan vi se vad som blir fel.

Yngve skrev:
villsovaa skrev:

första blir ju 10 cm i höjd. andra blir väl 8 cm i höjd. Men de staplas väl inte på varandra?

10 cm stämmer, men 8 cm stämmer inte.

Rita in dessa mått i bilden i svar #14 så kan vi se vad som blir fel.

Så uttrycket ovan är fel?

Uttrycket i svar #27 är fel, ja.

Men det är mindre fel än ditt ursprungliga uttryck.

Tänk så här:

För $0\leq x \leq\sqrt{2}$ så gäller att $h=10$ . Titta i bilden och övertyga dig om att det är så.

För $\sqrt{2}<x\leq2$ så gäller att $h=10-(5x^2-10)$ . Titta i bilden och övertyga dig om att det är så.

Yngve skrev:
Uttrycket i svar #27 är fel, ja.

Men det är mindre fel än ditt ursprungliga uttryck.

Tänk så här:

För $0\leq x \leq\sqrt{2}$ så gäller att $h=10$ . Titta i bilden och övertyga dig om att det är så.

För $\sqrt{2}<x\leq2$ så gäller att $h=10-(5x^2-10)$ . Titta i bilden och övertyga dig om att det är så.

Yes jag fattar! Vi räknar alltså utan bottenvolymen nu (den som ska tas bort) för då fattar jag! Är det bara att integrera vardera uttryck nu och sen addera?

Ja. Rita gärna in höjderna i bilden och visa oss.

Det är bra träning, och som du ser, en nödvändig förutsättning för att få till rätt integrand, rätt integrationsgränser och därmed rätt resultat.

Visa gärna även att du förstår vad skillnaden är i denna uppgift gentemot den i videon du länkade till i svar #22

Sedan kan vi titta på andra sätt att lösa uppgiften.

Yngve skrev:
Ja. Rita gärna in höjderna i bilden och visa oss.

Det är bra träning, och som du ser, en nödvändig förutsättning för att få till rätt integrand, rätt integrationsgränser och därmed rätt resultat.

Visa gärna även att du förstår vad skillnaden är i denna uppgift gentemot den i videon du länkade till i svar #22

Sedan kan vi titta på andra sätt att lösa uppgiften.

Tack för ditt tålamod!

Jag antar att skillnaden är att vi i denna uppgift är beroende av fler höjder, en som sträcker sig under x-axeln och därför är det smidigast att placera cylindern där, och en höjd som är konstant över x-axeln och där cylindrarna anpassar sin höjd efter den. Eller?

En stor skillnad är att i youtubevideon låg rotationskroppen under grafen,men i den här uppgiften ligger rotationskroppen ovanför grafen.

Det var bland annat det som gjorde att du inte kunde använda funktionsuttrycket direkt i integralen.

Yngve skrev:
En stor skillnad är att i youtubevideon låg rotationskroppen under grafen,men i den här uppgiften ligger rotationskroppen ovanför grafen.

Det var bland annat det som gjorde att du inte kunde använda funktionsuttrycket direkt i integralen.

Yes. Men när jag nu jämför med svaret från skivmetoden så är det inte exakt samma. Finns det någon skillnad i noggrannhet mellan metoderna?

Yes. Men när jag nu jämför med svaret från skivmetoden så är det inte exakt samma. Finns det någon skillnad i noggrannhet mellan metoderna?

Nej, de skall ge samma svar om du har räknat rätt.

Smaragdalena skrev:

Yes. Men när jag nu jämför med svaret från skivmetoden så är det inte exakt samma. Finns det någon skillnad i noggrannhet mellan metoderna?

Nej, de skall ge samma svar om du har räknat rätt.

Jag har gjort:

$2 π \int_{0}^{\sqrt{2}} (x * 10) d x + 2 π \int_{\sqrt{2}}^{2} (x * (10 - (5 x^{2} - 10))) d x$

Är det rätt? Kan det handla om något annat fel?

Det är rätt.

Volymen ska bli $30\pi$ cm³ oavsett vilken metod du använder.

Om du inte får fram det så kan du visa dina uträkningar för att få hjälp att hitta felet.

Yngve skrev:
Det är rätt.

Volymen ska bli $30\pi$ cm³ oavsett vilken metod du använder.

Om du inte får fram det så kan du visa dina uträkningar för att få hjälp att hitta felet.

Stort tack för hjälpen och tålamodet!