23 svar

176 visningar

BrorValter är nöjd med hjälpen

Integraler. Envariabelanalys!

Hej! Efter att hängt här i flera års tid var det dags för mig att skapa ett konto och be om hjälp.

Kursen jag läser är flervariabelanalys men jag tror att detta problemet egentligen ligger inom kursen endimensionell.

Såhär ser ekvationen ut. $\int_{0}^{1} r^{3} \sqrt{1 - r^{2}} d r$

Jag använder substitution och väljer ett värde på U.

. $U = 1 - r^{2} r^{2} = 1 - U r = \sqrt{1 - U} S e n v i l l j a g ä n d r a d r t i l l d u . \frac{d U}{d r} = - 2 r D e t t a g e r d r = \frac{1}{- 2 r} d u N u f å r j a g h e l a m i n e k v a t i o n t i l l . o b s . H a r r ä k n a t o m i n t e r v a l l e t o c k s å f ö r a t t p a s s a d U . \int_{1}^{2} ({\sqrt{1 - U)}}^{3} \times U \times \frac{1}{2 (\sqrt{1 - U)}} d U$

Härifrån har jag suttit och försökt lösa uppgiften vidare i 2,h timme utan framgång. Jag har testat att försöka lösa den utan att blanda in 1/2r dU i funktionen och att även räkna med den.

Detta ska alltså bli 2/15.

Min fråga lyder: Ser min uppställning ok ut eller är det något jag missat?

Jag är lite fundersam angående din faktor U. Det borde väl vara roten ur U?

Men jag tror en trigonometrisk substitution är mer passande här. T.ex. r=sinx

Tack för svar. Min faktor U kan nog vara båda två. Valde U till detta, men kan testa att sätta den under roten ut.

Jo alltså har använt polära koordinater för att hamna här. Detta är bara ett utplock ur en uppgift. Detta är från början en dubbelintegral.

Okej. Jag är osäker på om det där med att du använt polära koordinater förändrar något. Där är jag för okunnig. Men jag tror ett minustecken samt ett rottecken har försvunnit i din omskrivning.

Jag har en känsla av att den trigonometriska subben jag föreslog skulle kunna fungera. För då får du ju:

sin^3(x)*cosx*dr och dr är ju samma sak som cosx*dx. Så det känns som om det gömmer sig någon trevlig identitet här. I värsta fall kanske du får köra på partiell integrering. Men känslan kan ju förstås ha fel.

Tack! Jag ska testa detta.

Jag har dock redan använt r*sin(a) för att få ut intervallet i radianer. Därför jag var inne på just substitution. Men ska börja om och se om det blir enklare genom att inte dela upp.

Du skulle nog t.om. kunna u-subba trigsubben. Integralen blir ju:

int[sin^3(x)*cos^2(x)]dx

om du ansätter sin^2(x)=u verkar det bli trevligt. Men jag sitter på mobilen just nu så saknar tillgång till papper och penna.

Ett alternativ är att sätta

r = sinu.

@patenteramera
Ah, det blir samma som det jag föreslog, eller hur? Betryggande i sådana fall!

Vet inte riktigt om jag hänger med. Hur kan jag sätta U=sin^2(x) när jag enbart har r?

Mitt förslag är följande:

du har en integral i termer av r. Börja med att ansätta r=sinx. Skriv sedan om integralen i termer av x. Sedan kan du antagligen antingen utnyttja någon identitet eller göra en ytterligare substitution.

$\int \sin^{3} (x) \times \sqrt{\cos (x)} \times \frac{1}{\cos (x)} d \sin U n g e f ä r s å h ä r ? O c h s e n t a r j a g u t p r i m i t i v a f u n k t i o n e n g i s s a r j a g . H u r f ö r ä n d r a s m i n a i n t e r v a l l n u ?$

Nej, nu verkar något ha gått lite snett. Det borde väl bli:

$\displaystyle \int \sin^3 x \cos^2 x \;\mathrm{d}x$

Behöver jag inte ändra r=sinx med avseende på dr? Hur får du det till dx igen?

Använder du trigometriska ettan eller hur får du ut cos2x?

Testa x=r^2

Om r=sinx kommer dr=cosxdx. Ja, trigettan.

alltså först ger trigettan i integranden cosx och dr=cosx*dx så sammantaget får vi integralen jag skrev. Gränserna borde inte vara så problematiska att ändra.

$\int \sin^{3} (x) \times \cos (x) \times \cos (x) d x ? I d i n i n t e g r a l v a r v ä l i n t e \cos (x) d x m e d o c k s å ?$

ItzErre skrev:
Testa x=r^2

Jag testade men tyckte den blev krånglig när jag skulle gå från dr till dx.

$x = r^{2} d x = 2 r d r d r = \frac{d x}{2 r} G e r \int \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x} d x$

Något sånt här tänker jag mig

BrorValter skrev:
$\int \sin^{3} (x) \times \cos (x) \times \cos (x) d x ? I d i n i n t e g r a l v a r v ä l i n t e \cos (x) d x m e d o c k s å ?$

Visa spoiler

PATENTERAMERA skrev:
BrorValter skrev:
$\int \sin^{3} (x) \times \cos (x) \times \cos (x) d x ? I d i n i n t e g r a l v a r v ä l i n t e \cos (x) d x m e d o c k s å ?$

Visa spoiler

Tusen tusen tack!!

BrorValter skrev:
PATENTERAMERA skrev:
BrorValter skrev:
$\int \sin^{3} (x) \times \cos (x) \times \cos (x) d x ? I d i n i n t e g r a l v a r v ä l i n t e \cos (x) d x m e d o c k s å ?$

Visa spoiler

Tusen tusen tack!!

Du får verkligen ursäkta mig. Inser att jag behöver en ordentlig repetition från endimensionell analys för att jag ska fixa flervariabel nu. Var två år sedan jag läste förra kursen.

Men hur går du från steg 3 till steg 4?

$\displaystyle \mathrm{d}u\cdot-\sin u=\mathrm{d}(\cos u)$

Hänger du med om du vet detta?

Om du vill vara tydligare så kan du göra ett variabelbyte till.

Sätt cosu = -t. sinudu = dt. Gränser: t går från -1 till 0.

$\int_{- 1}^{0} (1 - t^{2}) t^{2} d t$ = ${[\frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{5}}{5}]}_{- 1}^{0}$ = 1/3 - 1/5 = 2/15.

Svara Avbryt

Visa senaste svar