Integrera

.

Jag tycker det verkar som en bra ansats att skriva om $x-2$ som $2x-2-x$. Om du inför substitutionen $x^2-2x+2=u$ får du i så fall $du=(2x-2)dx$. Så

$\displaystyle \int\frac{x-2}{x^2-2x+2}dx=\int\left(\frac{du}{u}-\frac{xdx}{x^2-2x+2}\right)$

Den första delen kan du ju integrera utan problem men den andra delen är fortfarande problematisk. Kanske fungerar en partialbråksuppdelning?

Jag är lat av mig idag och låter Wolfram göra jobbet...

Uppdelningen gör man ju för att få den ena termen att integreras till något logaritmiskt, alltså att täljaren är nämnarens derivata. Du gör detta genom att skriva om $x - 2 = 2x - 2 -x$ eftersom $2x-2$ är nämnarens derivata. Jag skulle skriva om det till $x-1 - 1$ istället. Då är $x-1$ nämnarens derivata upp till en faktor av 2, vilket vi kan multiplicera in. Däremot är det trevligare att ha en konstant i täljaren i den andra integralen. Alltså:

$\displaystyle \int \frac{x-2}{x^2 - 2x + 2}dx = \frac 12\int \frac{2x-2}{x^2 - 2x + 2}dx - \int \frac{1}{x^2 - 2x +2}dx.$

Detta på grund av att efter man kvadratkompletterat nämnaren i den andra integralen får man (efter substitution) en ren arctan funktion som primitiv till den andra integralen.