1 svar
77 visningar
AlexMu 123
Postad: 23 sep 17:55 Redigerad: 23 sep 18:02

Intressant problem med en tredjegradares rötter

Jag såg detta problem idag och det påminde mig mycket om problemet som postades igår här. Intressant att lösa.

Anta att aa \in \mathbb{R} är jämnt fördelat från [-3,4][-3,4]. Vad är chansen att alla rötter till
x3+ax2+ax+1x^3 + ax^2 + ax + 1 är reella?

Skriv era svar i spoilertagg.

Lösning på problemet

Notera att x=-1x = -1 är en rot till polynomet oberoende av a. Då kan vi faktorisera polynomet med en linjär term och ett andragradspolynom. 

Låt faktoriseringen vara (x+1)(x2+bx+c)=x3+bx2+x2+cx+bx+c(x+1)(x^2 + bx + c) = x^3 + bx^2 + x^2 + cx +bx + c
Detta ger ett ekvationssystem

b+1=ab+1 = a
c+b=ac+b = a
c=1c=1

Lösningarna är då c=1c = 1, b=a-1b = a-1
Polynomet kan skrivas som (x+1)(x2+x(a-1)+1)(x+1)(x^2 + x(a-1)+1)

x2+x(a-1)+1x^2 + x(a-1) +1 har rötterna x=1-a2±a2-2a-34x = \frac{1-a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^2 -2a-3}{4}}
Rötterna är alltså reella om a2-2a-30a^2 -2a-3 \geq 0
Genom att kvadratkomplettera får man
(a-1)24(a-1)^2 \geq 4 
a3a \geq 3 eller a-1a \leq -1

a3a \geq 3 get att polynomet har alla reella rötter när 3a43\leq a \leq 4, detta intervall har längden 1
a-1a \leq -1 get intervallet -3a-1-3 \geq a \leq -1, längden av detta intervall är 2
Den totala längden av intervall med lösningar är 3 och det totala intervallet har längd 7. 
Chansen att polynomet har alla reella rötter är då 37\frac37

Gustor 199
Postad: 24 sep 18:00
Visa spoiler

Diskriminanten är positiv när a>3 eller a<-1, så om a är likformigt fördelad borde chansen vara 3/7.

Svara
Close