Är detta en rimlig intuition bakom Jacobianen?

Det stämmer bra.

I kursen i linjär algebra har du säkert stött på linjära avbildningar/transformationer i planet. När man har en figur i planet med en viss area och denna figur utsätts för en linjär transformation $T$, så kommer figurens area förändras i enlighet med determinanten av transformationens avbildningsmatris $A$, d.v.s.

$\text{area}(T(S)) = |\det A| \, \text{area}(S)$

Determinanten funkar alltså som en skalningsfaktor för areor. (Tecknet av determinanten avgör om avbildningen bevarar orientering eller vänder på den, så tecknet är oväsentligt för figurens area.)

Om man nu kollar på koordinatvariabler för den linjära transformationen $T$, d.v.s.

$\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$, så innebär det att $\left\{\begin{array}{l}u(x,y)=A_{11}x + A_{12}y\\v(x,y)=A_{21}x + A_{22}y\end{array}\right.$.

När man beräknar partiella derivator och när man bildar Jacobianen, så får man

$u^\prime_x = A_{11}$,  $u^\prime_y = A_{12}$,  $v^\prime_x = A_{21}$,  $v^\prime_y = A_{22}$

och därmed

$\dfrac{d(u,v)}{d(x,y)} = \det \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \det A$.

Detta visar att jacobianen för denna linjära transformation är lika med avbildningsmatrisens determinant, vilket enligt kunskaper från linjär algebra funkar som skalningsfaktor för transformationens verkan på arean.

Hos linjära transformationer har man samma skalningsfaktor överallt, så jacobianen är konstant. Hos icke-linjära transformationer har man olika skalningsfaktorer på olika ställen, men jacobianen varierar och därmed fångar skalningsfaktorn lokalt.

Tack för ditt svar! Så motiveringen bakom det lite mer komplexa objektet Jacobianen är att området kan skalas annorlunda beroende på var någonstans i området vi är. Om vi går från t.ex. rektangulära koordinater $x$ och $y$ till polära koordinater $r$ och $\theta$, så kommer areaelementen skalas annorlunda beroende på var i området vi befinner oss, dvs. skalningsfaktorn är en funktion i $r$ och $\theta$, som vi skriver som $J(r,\theta)$?

Ja, det stämmer, Jakobianen är en lokal beskrivning av transformationen och behöver inte vara konstant. För polära koordinater är den

$J_T\left(r,\theta\right)=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|=r$

Tönk på att få transformationen åt rätt håll, formeln är 

$\displaystyle \int_{\mathbb{R}^k}f\left(\mathbf{y}\right)\,\mathrm{d}\mathbf{y}=\int_{\mathbb{R}^k}f\left(T\left(\mathbf{x}\right)\right)\left|J_T\left(\mathbf{x}\right)\right|\,\mathrm{d}\mathbf{x}$

För din exempeltransformation får vi då

$x=2u, \quad y=2v$

Och därmed är skalfaktorn åt det hållet $\left|J_T\left(u,v\right)\right|=\left|\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(u,v\right)}\right|=4$

Notationsmässigt anger man alltså variablerna som vi ska integrera eller derivera med avseende på, vilket kan kännas lite bakvänt i början.

Det är alltså lätt hänt att man istället slarvar och beräknar $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$ och det blir inte lättare av att det finns böcker som vänder på notationen.

Hur kommer det sig att du i båda fallen skriver området som $\mathbb{R}^k$? Förändras inte området när vi tillämpar transformationen? T.ex. om ursprungsområdet är $S$ så går vi till området $T(S)$ under en transformation $T$.

Ja, jag menade inget särskilt med det mer än att vi går från $\mathbb{R}^k$ till $\mathbb{R}^k$. Som du påpekar tänker vi oss att det gäller en transformation $T$ som mappar en öppen mängd $S\subset \mathbb{R}^k$ till $\mathbb{R}^k$ med $J_T\neq 0$ (för alla element i $S$). Om $f$ är kontinuerlig och har kompakt stöd i $T(S)$ är det då tillåtet att använda formeln.

Fattar! Så för att försöka sammanfatta intuitionen bakom Jakobianen:

Då vi genomför en koordinattransformation med en avbildning $T$ och byter mellan två områden $S$ och $T(S)$ måste vi ta hänsyn till att ett areaelement i $S$ inte nödvändigtvis är lika stort som motsvarande areaelement i $T(S)$. I vissa fall kan förändringen vara likformig (t.ex. om vi avbildar $C:=\{ (u,v)\in\mathbb{R}^2:0\le u\le1, 0 \le v\le 1 \}$ på $D:=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2:0\le x\le 2, 0 \le y\le 2 \}$ genom variabelbytet $x=2u$ samt $y=2v$), eller bero på var någonstans i det avbildade området man befinner sig (t.ex. då vi går från rektangulära koordinater till polära koordinater), varför man generellt behöver en funktion $J_T$, Jakobianen under transformationen $T$, som "tar hänsyn till" hur ett areaelement ur $S$ avbildas på motsvarande areaelement i $T(S)$.

Är det korrekt tolkat?