Median, typvärde och medelvärde: antal anställda

Man får ta det lite i taget.

Det här är skolorna (A är minst):

A B C D E F

Kan du ange något värde på direkten?

Nej det står stilla

"Den som har flest anställda har 28 stycken."
är det A,B,C,D, E eller F?

"Den med tredje minst har 20 stycken."
är det A,B,C,D, E eller F?

Om A är minst så borde det vara C ? 

Precis, den tredje minsta är C

Vilken har 28 anställda?

Då har F 28 anställda? Är det rätt? 

Ja. Då har vi

A B 20 D E 28

Vad vet du om medianen?

Är det 20 ? 

Anna 82 skrev:

Är det 20 ? 

I uppgiften står det: "Medianen är 21."

Ja det gör det missade det. 

Då är medelvärdet 20 ? 

Du har kommit så är långt:
A B 20 D E 28

Du vet att medianen är 21. Du vet säkert att medianen är talet i mitten, det som har lika många tal på varje sida om sig när man sorterat talen i storleksordning. Om det är ett jämt antal tal står inget tal exakt i mitten. Då beräknas medianen som medelvärdet av de två talen i mitten.

Du ser att 20 och D står i mitten. Medianen är 21. Vad blir D?

Blir D 20 med? 

Medianen när det är jämnt antal tal som i detta fall beräknas som medelvärdet av de två talen i mitten.

$\frac{20+D}{2}=21$

Vad blir D?

D är 22

Snyggt!

Nu har du:
A B 20 22 E 28

"Typvärdet är samma som den med tredje mest anställda"
Typvärdet är det värde som förekommer flest gånger.
Vad är typvärdet?
Vilken bokstav måste vara typvärdet?

A är det minsta så är A 20 ? 

Det står i uppgiften att den är 21. Vad innebär det för de okända värdena?

Anna 82 skrev:

A är det minsta så är A 20 ? 

Eftersom talen står i ordning skulle i så fall B också vara 20 och det vet vi inte.

Den med "tredje mest anställda" är ju 20.
Typvärdet är alltså 20.
Det finns ingen annan 20 så minst en till måste vi ha för att 20 ska bli det vanligaste värdet. Vilken bokstav blir det? Tänk på att de ska stå i ordning.

Måste typvärdena stå bredvid varann i så fall är det väl B som är 20? Eller fattar jag fel ? 

Eftersom talen står i ordning måste det nya värdet 20 hamna bredvid C=20. 

Så B=20 är rätt.

Nu har du:
A 20 20 22 E 28
Nu är nästan det slut på ledtrådar.
Vi vet att medelvärdet är 20
Kan du teckna ett uttryck för medelvärdet (du kan använda A och E som okända symboler)?

Står stilla 

$Medelvärdet =\hspace{0.17em}\frac{Summan av alla talen}{antalet tal}$

Kan du teckna teckna uttrycket då?

20+20+22+28/6

Nästan. Du glömde A och E, annars är det inte 6 tal eller hur?

$\frac{A+20+20+22+E+28}{6}=20$

Känns det begripligt?

Om ja, kan du förenkla uttrycket?

Men hur kommer jag fram till vad A och E blir ? 

Det är dit vi är på väg. Men först måste vi förenkla. Kan du göra det?

Tack måste avsluta nu men tack för all hjälpen så länge. 

Ok. Nästa steg är så här (tillsammans med spoilern ovan) så du har nåt att fundera på när du kommer tillbaka:

Vi har:
A 20 20 22 E 28

Eftersom talen står i ordning så kan E inte vara mindre än D och inte större än F.
Vilket är det minsta talet E kan vara?
Vilket är det största talet E kan vara?

Och i så fall:
Vilket är det minsta talet A kan vara?
Vilket är det största talet A kan vara?

Det minsta E kan vara är 23 och det största är 27 och A kan vara som störst  19 men hur litet det kan vara är ju svårt att veta 

Nästan rätt, E kan vara mellan 22 och 28 eftersom det får vara lika stora som de bredvid (då står de fortfarande i ordning).

Ovan (i spoilern) tog vi fram ett uttryck med hjälp av medelvärdet:
A+E=30

Som du ser betyder det om E är 22, det minsta det kan vara, så är A=30-22=8
Och om E=28 så är A=30-28=2

Men vi kan inte veta exakt vilket värde som E och A har, bara att de ligger i de här intervallen, alltså att
22 <= E <= 28 och 2 <= A <= 8
och har sambandet att de är 30 tillsammans

Förstår inte riktigt 

Är du med på att A+E=30? Om inte, titta på inläggen mellan 17:10 och 17:18. Fäll ut "spoilern" så ser du varför det blir så.

Vi har talen:
A 20 20 22 E 28
och vi vet att
A+E=30

Och jag tror du är med på att $22\le E\le 28$ eftersom talen är i ordning.

Om du tittar på det lägsta E kan vara, E=22. Vad blir då A?
Eftersom A+E=30 får vi:
A+22=30
A+22-22=30-22
A=8
Om E=28 så är A=8

Om du tittar på det högsta E kan vara, E=28. Vad blir då A?
Eftersom A+E=30 får vi:
A+28=30
A+22-28=30-28
A=2
Om E=22 så är A=2

Vi kan alltså inte veta vad A och E är exakt, bara i vilka intervall de måste ligga.
Sammanfattar vi allt har vi:
2 <= A <= 8    (A ligger mellan 2 och 8)
B=20
C=20
D=22
22 <= E <= 28   (E ligger mellan 22 och 28)
F=28
Dessutom gäller att A+E=30

Man kan också skriva samma sak kortare så här:
2 <= A <= 8    (A ligger mellan 2 och 8)
B=20
C=20
D=22
E=30-A
F=28

Du ser att nu är E skrivet som en formel där man stoppar in A när man fått veta det.

Programmeraren skrev:

Snyggt!

Nu har du:
A B 20 22 E 28

"Typvärdet är samma som den med tredje mest anställda"
Typvärdet är det värde som förekommer flest gånger.
Vad är typvärdet?
Vilken bokstav måste vara typvärdet?

"Typvärdet är samma som den med tredje mest anställda"

Så det måste vara 22 eftersom D är den med tredje mest anställda. Delad 3:e plats.

Nu har du:
A B 20 22 22 28

"Medelvärdet är 20"  ger oss

$$\begin{gathered} \frac{A+B+20+22+22+28}{6}=20 \\ A+B=120-20-22-22-28 \\ A+B=28 \end{gathered}$$

A och B kan såklart inte vara 20 eller 28 (för då blir det knas med typtalet)
De kan inte heller vara samma tal dvs 14 (av samma skäl) så:
A;B  kan vara 19;9
A;B  kan vara 18;10
A;B  kan vara 17;11
A;B  kan vara 16;12
A;B  kan vara 15;13

joculator har rätt, jag läste och skrev "mest" men tänkte "minst". Sorry för det!

Men då har skola C 20 anställda, skola D 22 anställa , skola E 22 anställda och skola F 28 anställda. A och B vet man inte riktigt hur många det är. Förlåt är lite fundersam. Ska lämna in denna uppgift muntligt . Så behöver fundera på hur jag ska lägga upp det när jag pratar. 

Vi kan inte veta exakt vad A och B är. Men tillsammans har de 28 anställda. Det högsta antalet B kan ha är 19 (inte 20 eftersom då finns det två st 20 och 22 ska vara typtalet). Och de får inte vara 14 båda två för då skulle inte heller 22 vara typtalet. Alla möjliga kombinationer är som joculator skrev:
A;B  kan vara 19;9
A;B  kan vara 18;10
A;B  kan vara 17;11
A;B  kan vara 16;12
A;B  kan vara 15;13

Sammanfattning:
Först har vi 6 okända tal:
A B C D E F
"Den som har flest anställda har 28 stycken"
A B C D E 28
"Den med tredje minst har 20 stycken"
A B 20 D E 28
"Medianen är 21". Medianen är medelvärdet av 20 och D, dvs (20+D)/2=21
A B 20 22 E 28
"Typvärdet är samma som den med tredje mest anställda"
A B 20 22 22 28
"Medelvärdet är 20". Dvs (A+B+20+22+22+28)/6=20. Vilket förenklat ger A+B=28.
Eftersom typvärdet ska vara 22 kan inte både A och B vara 14. Och B kan inte vara 20 av samma skäl.
Då återstår kombinationerna:
A;B  kan vara 19;9
A;B  kan vara 18;10
A;B  kan vara 17;11
A;B  kan vara 16;12
A;B  kan vara 15;13

Tack nu tror jag att jag har förstått det mesta ialla fall😊tack snälla för all hjälp!