13 svar
76 visningar
lamayo är nöjd med hjälpen
lamayo 2523
Postad: 23 apr 11:09

kaffets temperatur

Jag har på

1. antagit att kaffets ursprungstemperatur är 96 grader och utomhustemperaturen 13 grader. Sedan hittar jag allmänna lösningen. T´(t)=-k(96-13)=-83k

T(t)=-83kt+C 

T(0)=96 och Tomg=13

T(0)=e^(-k*0)+13+C=96 => C=0 =>T(t)=13+83*e^(-kt)

2. En fråga. Tänkte göra experimentet men kan jag göra det när det är annan temperatur än 13 grader och vid annan ursprungstemperatur? Eller ska jag ändra temperaturen i allmänna lösningen i frågan innan efter vad det är för temperatur nu?

Tacksam för hjälp!!

Jag är inte med på hur du tog fram T'(t) = -83k. Avsvalningslagen säger att derivatan ärproportionell mot skillnaden i temperatur mellan kaffet oh omgivningen i varje ögonblick, inte bara när man häller upp det. Det borde finnas en faktor (T-13), inte (96-13).

lamayo 2523
Postad: 23 apr 12:24
Smaragdalena skrev:

Jag är inte med på hur du tog fram T'(t) = -83k. Avsvalningslagen säger att derivatan ärproportionell mot skillnaden i temperatur mellan kaffet oh omgivningen i varje ögonblick, inte bara när man häller upp det. Det borde finnas en faktor (T-13), inte (96-13).

jag använde bara formeln i uppgiften dT/dt=-k(T-Tomg) där T är 96 och Tomg=13? Då blir det ju -83k?

Nej, T(t) är en funktion av tiden t som du skall räkna fram. Det som är 96 är T0 = T(0), d v s temperaturen från början.

lamayo 2523
Postad: 23 apr 14:16 Redigerad: 23 apr 15:23
Smaragdalena skrev:

Nej, T(t) är en funktion av tiden t som du skall räkna fram. Det som är 96 är T0 = T(0), d v s temperaturen från början.

Såhär då:

Tꞌ(t)=-k(T(t)-T_omg)

T(t)=T_omg+e^(-kt)(96-T_omg)+C

T(0)=96 och T_omg=13℃

T(0)=e^(-k*0)+13+C=96 => C=0 => T(t)=13+83*e^(-kt) ?

Men ska jag ändra temperaturen efter vad det är i experimenten jag gör i 2?

Nej. Första raden är korrekt, men på andra raden har du två olika konstanter som adderas men ingen som multipliceras med exponentialfunktionen. Dessutom förstår jag inte varifrån parentesen (96-T_omg) kommer ifrån.

Börja med att skriva hur lösningen till diffekvationen y'(x) = kx ser ut.

lamayo 2523
Postad: 23 apr 16:48
Smaragdalena skrev:

Nej. Första raden är korrekt, men på andra raden har du två olika konstanter som adderas men ingen som multipliceras med exponentialfunktionen. Dessutom förstår jag inte varifrån parentesen (96-T_omg) kommer ifrån.

Börja med att skriva hur lösningen till diffekvationen y'(x) = kx ser ut.

y(x)=(kx^(2)/2)+C

Oj, jag skrev fel. Jag hade menat att skriva att du skulle ta fram lösningen till diffekvationen y'(x) =ky(x).

lamayo 2523
Postad: 23 apr 18:03
Smaragdalena skrev:

Oj, jag skrev fel. Jag hade menat att skriva att du skulle ta fram lösningen till diffekvationen y'(x) =ky(x).

y=C*e^(kx)

Ja.

Funktionen y(x) skulle t ex kunna beskriva temperaturen hos kaffet om man är ute på vintern när temperaturen är noll. Då skulle C vara temperaturen på det nyss upphällda kaffet, låt oss säga 96 grader, och k är en konstant som beror på vilken kopp man dricker kaffet ur. Om kaffet får stå väldigt länge komer temperaturen att gå ner till 0 grader.

Låt oss säga att vi istället sitter och fikar inomhus där temperaturen är 20 grader. Vilken temperatur kommer kaffet att ha efter lång tid?

lamayo 2523
Postad: 23 apr 20:39
Smaragdalena skrev:

Ja.

Funktionen y(x) skulle t ex kunna beskriva temperaturen hos kaffet om man är ute på vintern när temperaturen är noll. Då skulle C vara temperaturen på det nyss upphällda kaffet, låt oss säga 96 grader, och k är en konstant som beror på vilken kopp man dricker kaffet ur. Om kaffet får stå väldigt länge komer temperaturen att gå ner till 0 grader.

Låt oss säga att vi istället sitter och fikar inomhus där temperaturen är 20 grader. Vilken temperatur kommer kaffet att ha efter lång tid?

20 grader?

Ja. Så vi måste byta ut x i exponentenmot x-20, addera 20 och justera konstanten C så att starttemperaturen blir 96 grader. Hur ser funktionen ut efter alla dessa förändringar?

lamayo 2523
Postad: 24 apr 15:15
Smaragdalena skrev:

Ja. Så vi måste byta ut x i exponentenmot x-20, addera 20 och justera konstanten C så att starttemperaturen blir 96 grader. Hur ser funktionen ut efter alla dessa förändringar?

y=C*e^(k*(x-20))+20

96=C*e^(k*(0-20))+20

C=76*e^(20k)

y=76*e^(20k)*e^(k*(x-20))+20

y=76*e^(kx)+20

Är det rätt tänkt?

lamayo 2523
Postad: 24 apr 21:04 Redigerad: 24 apr 21:05

Tar tillbaka det jag skrev tidigare tror jag kommit fram till rätt nu:

Lösning av differentialekvation

T´=-k(T-Tomg)

T´+k*T=k*Tomg

Homogen lösning:

T=C*e^(-kt)

Partikulär lösning:

T=D T´=0

k*D=k*Tomg

D=Tomg=13℃

T=13

Allmän lösning

T=C*e^(-kt)+13

T(0)=96℃

96=C+13

C=83

T=83*e^(-kt)+13

Stämmer det?

Svara Avbryt
Close