10 svar
165 visningar
naytte Online 4881 – Moderator
Postad: 26 okt 17:48 Redigerad: 26 okt 17:49

Kan man bevisa lim x->0 sinx/x så här + är det gängse sättet cirkulärt?

Halloj!

Jag har en fråga som berör det elementära gränsvärdet limx0sinx/x\lim_{x\to 0} \sin x / x. Normalt sett bevisar vi detta gränsvärde med ett geometriskt argument, men jag tycker ärligt talat inte att geometriska argument är så bra. Framför allt misstänker jag att man egentligen argumenterar cirkulärt*. Så jag söker alternativa bevis som inte bygger på geometri. Jag har en idé.

Vad händer om man bara definierar:

sinx:=k=0-1kx2k+12k+1!\displaystyle \sin x:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^k\left(x\right)^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}

Då blir ju gränsvärdet trivialt att lösa. Jag tycker inte heller att detta är cirkulärt eftersom vi "enkelt" kan bevisa formeln ovan med exempelvis induktion. Vi behöver alltså inte veta något om härledningen till Maclaurinutvecklingen (specifikt derivatan av sinus) för att kunna bevisa att den stämmer.


*Det känns som man använder integraler när man påstår att arean på cirkelsektorn ges av A=xr22\displaystyle A = \frac{xr^2}{2}. Och då denna sats bevisas så använder man ju derivatan av sinx\sin x

Tomten 1825
Postad: 26 okt 18:00 Redigerad: 26 okt 18:02

Det funkar kanske som du skriver, och denna definition finns i litteraturen och bygger på serieutvecklingen av ex. Men hur går det med basic, t ex additionsformlerna och sin och cos-teoremen? De senare är ju knutna till triangelsolvering. Inte känner du väl lust att solvera trianglar med serier?

AlexMu Online 147
Postad: 27 okt 01:33
Tomten skrev:

Det funkar kanske som du skriver, och denna definition finns i litteraturen och bygger på serieutvecklingen av ex. Men hur går det med basic, t ex additionsformlerna och sin och cos-teoremen? De senare är ju knutna till triangelsolvering. Inte känner du väl lust att solvera trianglar med serier?

Om man definierar både sinus och cosinus med serien kan man nog derivera eulers formel och därifrån kan man nog bevisa ganska många formler för dem

AlexMu Online 147
Postad: 27 okt 11:30 Redigerad: 27 okt 11:47

Jag testade att härleda sin2x=2sinxcosx\sin{2x} = 2\sin{x} \cos{x} med seriedefinitionerna. Det är definitivt lite klurigt. Här är en liten skiss på det. 

Definiera sinx=k=0(-1)kx2k+1(2k+1)!\displaystyle \sin{x} = \sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}} och cosx=k=0(-1)kx2k(2k)!\cos{x} = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}}
Vi får då att sinxcosx=k=0(-1)kx2k+1(2k+1)!·k=0(-1)kx2k(2k)!\displaystyle\sin{x}\cos{x} = \sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}} \cdot \sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}}
=x-x33!+x55!...1-x22!+x44!...= \left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}...\right)\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}...\right)
Notera att sinus är en udda funktion och cosinus en jämn funktion. Det innebär att sinxcosx\sin{x}\cos{x} är udda och alla koefficienter framför x2nx^{2n} termerna 00

Om man multiplicerar ut parenteserna får man att koefficienten framför x2n+1x^{2n+1} blir
k=0n1(2k+1)!·(2n-2k)!\displaystyle\sum_{k=0}^n{\frac{1}{(2k+1)! \cdot (2n-2k)!}} om nn är jämn
-k=0n1(2k+1)!·(2n-2k)!\displaystyle-\sum_{k=0}^n{\frac{1}{(2k+1)! \cdot (2n-2k)!}} om nn är udda
(Detta är jag lite osäker på om man får göra eftersom att jag multiplicerar och grupperar ihop två oändliga summor. Det är något jag aldrig gjort tidigare men jag antar att det borde vara ok eftersom att båda summor är absolut konvergenta?)

k=0n1(2k+1)!·(2n-2k)!=1(2n+1)!k=0n(2n+1)!(2k+1)!·(2n-2k)!=1(2n+1)!k=0n2n+12k+1\displaystyle\sum_{k=0}^n{\frac{1}{(2k+1)! \cdot (2n-2k)!}} = \frac{1}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^n{\frac{(2n+1)!}{(2k+1)! \cdot (2n-2k)!}} = \frac{1}{(2n+1)!} \sum_{k=0}^n{\binom{2n+1}{2k+1}}
Om vi kollar på summan får vi 
k=0n2n+12k+1=k=0n2n2k+2n2k+1\displaystyle\sum_{k=0}^n{\binom{2n+1}{2k+1}} = \sum_{k=0}^n{\left( \binom{2n}{2k} + \binom{2n}{2k+1}\right)}
Om man skriver ut termerna får man att det blir 2n0+2n1+2n2...+2n2n\binom{2n}{0}+\binom{2n}{1}+\binom{2n}{2}... +\binom{2n}{2n} (det finns också en term 2n2n över 2n+12n+1 och 2n2n över 2n+22n+2 men dessa blir 00 per definition)
Alltså k=0n2n+12k+1=k=02n2nk\displaystyle\sum_{k=0}^n{\binom{2n+1}{2k+1}} = \sum_{k=0}^{2n}{\binom{2n}{k}}

Från binomialsatsen får vi att (a+b)2n (a+b)^{2n} =k=02n2nka2n-kbk= \displaystyle\sum_{k=0}^{2n}{\binom{2n}{k}a^{2n-k}b^k}
Sätter vi in a=b=1a=b=1 får vi att k=02n2nk=4n\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}{\binom{2n}{k}} = 4^n
Då blir koefficienten till x2n+1x^{2n+1}
-4n(2n+1)!-\frac{4^n}{(2n+1)!} om n är udda och 4n(2n+1)!\frac{4^n}{(2n+1)!} om n är jämn
Då får vi att 2sinxcosx=2n=0(-1)n4nx2n+1(2n+1)!=n=0(-1)n22n+1x2n+1(2n+1)!=n=0(-1)n(2x)2n+1(2n+1)!=sin2x\displaystyle2\sin{x}\cos{x} = 2\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n 4^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} = \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n 2^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}} = \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}} = \sin{2x}

Definitivt inte något trevligt att gå igenom för alla andra formler!

Inte känner du väl lust att solvera trianglar med serier?

Kanske, om det förhindrar cirkulära resonamng i framtiden. För det är det som är min stora skräck här. Det verkar vara något cirkulärt som försiggår i beviset för gränsvärdet av sinx/x\sin x/xx0x\to 0.

Laguna 30230
Postad: 31 okt 20:25

Om de trigonometriska formlerna: om man först bevisar eix = cos(x) + i sin(x), så blir väl allt lättare?

Gustor Online 287
Postad: 1 nov 15:44 Redigerad: 1 nov 15:49

Resonemanget är inte cirkulärt, om man gör på följande vis:

1) Visar att en cirkelsektor har en area, exempelvis genom en approximering med, öh, "polygontåg" (enl. Wikipedia). Alltså en följd punkter med räta linjer mellan varje på varandra följande punkter. Går att göra analytiskt och så vitt jag vet utan trigonometri. I princip visar man att 0x1-t2dt\int_0^x \sqrt{1-t^2} dt existerar för x[0,1]x\in[0,1].

2. Definiera ett mått på vinkeln i enhetscirkeln som två gånger cirkelsektors area. Låt oss säga att om arean är x/2, så är vinkelns mått x. Detta är alltså en definition på hur vi mäter vinkeln.

3. Definiera de trigonometriska funktionerna genom att definiera punkten på enhetscirkeln som radien med vinkeln x skär som (sin(x), cos(x)).

SaintVenant Online 3915
Postad: 1 nov 23:47 Redigerad: 1 nov 23:51
naytte skrev:

*Det känns som man använder integraler när man påstår att arean på cirkelsektorn ges av A=xr22\displaystyle A = \frac{xr^2}{2}. Och då denna sats bevisas så använder man ju derivatan av sinx\sin x

Nja, hela cirkelns area är π·r2\pi\cdot r ^2, det är väl allt du behöver bevisa. Proportionalitet också kanske. Men ingen av dem "kräver" detta gränsvärde.

Cirkelsektorns area är samma andel av cirkelns area som vinkeln xx är andel av 2π2 \pi så:

AsektorAcirkel=x2π\dfrac{A_{sektor}}{A_{cirkel}}=\dfrac{x}{2\pi}

Gustor skrev:

"polygontåg"

Obligatorisk låt att länka varje gång detta roliga ord nämns: https://open.spotify.com/track/4RpYyQtdfTUcbjEQ3xBd6e?si=oaA02kX8TRejZbEcmNtWWQ.

Vilken guldgruva! 

Gustor Online 287
Postad: Idag 10:59
oggih skrev:
Gustor skrev:

"polygontåg"

Obligatorisk låt att länka varje gång detta roliga ord nämns: https://open.spotify.com/track/4RpYyQtdfTUcbjEQ3xBd6e?si=oaA02kX8TRejZbEcmNtWWQ.

Haha, ja jag hade inte hört ordet förut. Svängig låt!

Svara
Close