Kan man generalisera definitionen av Darbouxintegralen till dubbelintegraler?

Halloj!

Jag har suttit lite med en bok om icke-standardanalys (Foundations of Infinitesimal Calculus av H. Jerome Keisler) och har nu tagit mig igenom kapitlet där dubbelintegraler definieras. Definitionen med infinitesimaler fick mig att fundera på om man inte borde kunna skapa en med Darbouxintegralen analog definition av åtminstone dubbelintegralen. Jag har ingen aning om jag är helt ute och cyklar men jag skulle vilja föreslå, väldigt löst, hur jag tänker mig att man skulle kunna göra.

Vi börjar med ett godtyckligt område $D \subseteq \mathbb{R}^2$ och en kontinuerlig funktion $f: D \to \mathbb{R}$. Definiera $E$ som snittet av alla rektanglar $K$ sådana att $D\subset K$. För enkelhetens skull kan vi säga att $E = [a,b] \times [c,d]$, för några reella tal $a,b,c,d$. Låt vidare $\Delta x$ och $\Delta y$ vara positiva reella tal, och skapa partitioner av $[a,b]$ och $[c,d]$ där varje delintervall har längd $\Delta x$ respektive $\Delta y$,

$\displaystyle x_1 = a, x_2 = a+\Delta x,..., x_m = b$

$\displaystyle y_1 = c, y_2 = c+\Delta y,..., y_n = d$

Vi definierar översumman $\bar S$ som:

$\displaystyle \bar{S}\left(\Delta x,\Delta y\right):=\sum_{k=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}\Delta x\Delta y\sup_{{x \in [x_{k-1}, x_{k}] \ y \in [y_{i-1},y_i]}} f\left(x,y\right)$

På motsvarande sätt definierar vi undersumman:

$\displaystyle \underline{S}\left(\Delta x,\Delta y\right):=\sum_{k=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}\Delta x\Delta y\inf_{{x \in [x_{k-1}, x_{k}] \ y \in [y_{i-1},y_i]}} f\left(x,y\right)$

Det är tydligt (om jag har tänkt rätt) att översumman alltid kommer vara större än undersumman. Intuitivt ger översumman en volym som är större än eller lika stor som volymen under funktionsytan, och undersumman ger en volym som är mindre än eller lika stor som volymen under funktionsytan. Vi summerar de största och minsta värdena inom varje rektangel med mått $\Delta x$ och $\Delta y$. Dessutom verkar det rimligt att om vi väljer en snävare partition av $[a,b]$ och $[c,d]$ (mindre tal $\Delta x, \Delta y$) kommer undersumman bli större eller vara lika stor, medan översumman blir mindre eller förblir lika stor. Vi definierar därför den övre integralen $\bar{S}$ som:

$\displaystyle \bar{S}\left(D\right):=\inf_{\Delta x, \Delta y}\bar{S}\left(\Delta x,\Delta y \right)$

och på liknande sätt:

$\displaystyle \underline{S}\left(D\right):=\sup_{\Delta x, \Delta y}\underline{S}\left(\Delta x,\Delta y\right)$.

Vi säger att $f$ är integrerabar över $D$ om och endast om $\bar{S}\left(D\right)=\underline{S} \left(D\right)$, och dubbelintegralen av $f$ över $D$ definieras då som:

$\displaystyle \iint_Df= \bar{S}\left(D\right)=\underline{S} \left(D\right)$

Jag har ingen aning om detta är rimligt och det finns säkert massvis med tekniska fel här, men jag hoppas att själva andemeningen går fram. Är det möjligt att definera dubbelintegralen så här och råkar ni ha någon källa som gör detta?

EDIT: ett ganska enormt problem är att om kurvan är konstig kanske rektangeln $E$ innehåller mycket "tomrum". Vi kanske kan utvidga domänen av $f$ till $E$ och säga att den är noll överallt utanför $D$?

EDIT2: ett annat stort problem är att $\Delta x$ och $\Delta y$ kanske inte delar $[a,b]$ och $[c,d]$ jämnt, men det borde väl gå att fixa. Hur som helst är det dags att slagga nu!