Kan man välja att inte kvantifiera över alla talföljder?

Påstående B säger inte att $f_n(x) \to 0$ för alla $x\in [0,1]$. Det skulle betyda att vi först fixerar ett $x$ och betraktar följden $f_1(x),f_2(x)\dots$. Att det går mot 0 betyder punktvis konvergens mot 0.

Så som B är formulerad säger påståendet att vi kan tillåta $x$ att variera godtyckligt mellan varje steg, alltså att vi t.ex. har att följden $f_1(0.2),f_2(0.99),f_3(0.707),\dots$ går mot 0. Men inte bara det, utan alla sådana följder går mot 0 hur vi än varierar $x$. Detta är ett starkare påstående eftersom konvergensen mot 0 inte beror alls av vilket $x$-värde vi stoppar in i varje funktion i följden $\{f_n(x_n)\}$. I det första fallet kan följden $\{f_n(x) \}$ konvergera olika snabbt för olika $x$. I det andra fallet måste det finnas en "minsta hastighet" med vilken $f_n$ konvergerar mot 0 oberoende av vilka värden på $x$ vi väljer. Varför? Jo annars skulle vi kunna välja den jobbigast möjliga följden och göra så att konvergensen sker godtyckligt långsamt--med andra ord skulle den inte konvergera alls.

Med minsta hastighet menar jag formellt att vi för varje $\varepsilon>0$ kan hitta ett $N$ sådant att för alla $n\geq N$ och alla $x$ i domänen sådant att $\| f_n(x)\|<\varepsilon$. Storleken på talet $N$ är den minsta hastigheten, som alltså bara beror av $\varepsilon$ och inte $x$.

Tänk t.ex. grafen till funktionerna $f_n(x) = \frac{x^2}{n}$ (rita upp i desmos eller dylikt). Fixerar vi först något $x$-värde, säg $x_0$, så ser vi att $f_n(x_0)\to 0$ då $n\to \infty$. Däremot finns det $x$-värden långt ut som går godtyckligt långsamt mot 0. Det finns ingen "minsta hastighet" för vilka alla värden på $x$ ger att $f_n(x) \to 0$. Vi har med andra ord punktvis konvergens mot 0 för alla x, men inte likformig konvergens.

Så (B) och (A) är bara olika sätt att uttrycka likformig konvergens? (ser ju nu att vi kommer få (A) <=> (B))

Jag försökte nämligen skriva ut definitionerna av (A) och (B) för att försöka visa implikationen (A) => (B) men det gick sådär...

För likformig konvergens har vi:

$\displaystyle (\forall\varepsilon>0)(\exists N>0)(\forall n\ge N)(\forall x\in[0,1]):|f_n(x)|<\varepsilon$

Jag vill få detta att bli motsvarande uttryck för (B) där vi istället kvantifierar över alla $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$. Hur skulle det se ut då? Jag får inte ihop det.

Ja precis, det är antagligen så uppgiften är tänkt.

Från formuleringen om likformig konvergens följer det direkt att $\|f_n(x_n)\|<\varepsilon$ för alla $n\geq N$, oavsett vilken följd $\{x_n\}$ vi har. Kruxet är att visa att B medför A.

Men det känns ju som att man borde kunna klämma in ett $\forall \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ någonstans i formuleringen. "$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$" är ju ändå inte med i själva utsagan. Kanske:

$\displaystyle (\forall \{ x_n \}_{n=1}^{\infty})(\forall\varepsilon>0)(\exists N>0)(\forall n\ge N)(\forall x_n\in[0,1]):|f_n(x_n)|<\varepsilon$

Vilket i så fall skulle vara definitonen för $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n\left(x_n\right) = 0\; \text{för alla följder}\; \left\{x_n \right\}_{n=1}^{\infty}$

Tillägg: 28 maj 2025 20:24

För om det är sant för alla $x\in[0,1]$ är det ju definitivt sant för alla $x_n$ på samma intervall. Och på samma sätt borde det gälla bakvänt: om det är sant för ALLA följder $\{x_n\}$ och alla $x_n$ så borde man kunna gå tillbaka till ursprungsformulering om likformig konvergens.

För att bevisa att $f_n \to 0$ likformigt på $[0, 1]$, så behöver man visa att $\lim_{n\to \infty} (\sup_{x \in [0,1]} \left|f_n(x) - 0\right|) = 0$.

Eftersom $f_n$ är kontinuerliga på ett kompakt intervall, så finns det en punkt $x_n \in [0,1]$, där $|f_n|$ antar sitt maximum/supremum. Därefter får man (A) omedelbart från (B)

Ja, det skulle gå att formulera på det sättet, men som du skriver det det lite konstigt ut med både "för alla talföljder..." och sedan "för alla x i [0,1]". Men det är inte riktigt så relevant hur man formulerar själva egenskapen. 

Det viktiga att inse för att visa att A medför B är att för likformig konvergens finns för varje $\varepsilon$ ett $N$ sådant att det för alla $x\in[0,1]$ gäller att $n\geq N\implies\|f_n(x)\|<\varepsilon$. Vi antar att detta gäller.

Låt nu $\{x_n\}$ vara en talföljd. Vi behöver visa att det för varje $\varepsilon >0$ finns ett $N$ sådant att $\|f_n(x_n)\|<\varepsilon$ för alla $n\geq N$. Med andra ord ska vi visa att följden $\{f_n(x_n)\}$ konvergerar mot 0.

För att visa detta, låt $\varepsilon > 0$ vara givet. Enligt definitionen för likformig konvergens finns ett $N$  sådant att det för alla $x\in[0,1]$ gäller att $n\geq N \implies\|f_n(x)\|<\varepsilon$. Eftersom detta gäller för alla $x\in[0,1]$ så gäller det specifikt även för alla tal i följden $\{x_n\}$. Därför måste det även gälla att $n\geq N\implies\|f_n(x_n) \|<\varepsilon$. Detta är allt vi behöver. Alltså konvergerar följden $\{f_n(x_n)\}$ mot 0, vilket skulle visas.

@LuMa07, varför skulle supremet för varje n vara $f_n(x_n)= 0$?

Varje funktion $f_n$ antar ett maximalt värde vid något $x_n$. Bilda en talföljd av dessa $x_n$. Av B vet vi att $f_n(x_n)\to 0$. Eftersom $f_n(x_n) =\sup_{x\in [0,1]} f_n(x)$ måste $f_n\to 0$ likformigt, enligt karakteriseringen av likformig konvergens som LuMa07 gav.

Men det ska väl gälla varje talföljd vi kan bilda? Varför kan vi begränsa oss till endast den som gör att $f_n$ antar sina maxima vid $x_n$?

Det vi skriver om nu är $B\implies A$. I mitt inlägg #9 visade vi att $A\implies B$. Vi antar i B att en egenskap gäller för varje talföljd, men det räcker med att vi väljer en enda följd (på ett smart sätt) som vi använder egenskapen på för att visa att A gäller.

Precis, jag menar också (B)=>(A).

B säger att vi att för alla talföljder {x_n} har $\lim_{n\to\infty} f_n(x_n)= 0$.

Vi vill nu visa att detta medför $\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in [0,1]} |f_n(x)| = 0$

Så vitt jag har förstått det har vi nu visat det för en talföljd, nämligen den som gör att supremet på [0,1] av f_n = f_n(x_n) för alla n. Men vad hände med alla andra talföljder som också finns? Vi har väl visat implikationen för en enda talföljd, inte alla?

Tillägg: 28 maj 2025 21:22

Ursäkta dålig formattering, är på mobil.

Vi ska visa att B medför A, dvs. vi antar att B gäller och försöker härleda A. 

Påstående B säger att en egenskap gäller för alla möjliga talföljder.

Det medför att egenskapen gäller för en specifik talföljd (som vi konstruerat på ett smart sätt).

Det faktum att egenskapen gäller för denna specifika talföljd medför sedan att påstående A är sant.

Vi antog att B gällde och visade att då gäller även A. Alltså har vi visat att B medför A.

Just det - kriterium (A) gäller ju alla x på [0,1]. Så om vi kan bestämma gränsvärdet för en följd har vi bestämt det för alla…?

Det som LuMa07 använder är en viss karakterisering av likformig konvergens, som säger att en följd funktioner $\{f_n\}$ konvergerar likformigt mot funktionen $f$ på mängden $E$ om

$\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in E} |f_n(x) - f(x)| = 0$.

Kanske var det det som var förvirrande? I uppgiften är $E=[0, 1]$ och $f(x) =0$.

Nej, det är jag med på! Det är definitionen jag föredrar.

Återkommer om en stund. Måste ta mig hem.

Resonemanget kan liknas vid något som detta något krystade exempel:

Påstående $B$: "för alla heltal $x$ gäller att $x^2\geq x$.

Påstående $A$: "$9 \geq 2$"

Vi vill visa att $B$ medför $A$.

Antag att $B$ gäller.

Det betyder speciellt att $B$ gäller för $x=3$, dvs. att $3^2 \geq 3$, eller $9\geq 3$.

Eftersom $3\geq 2$ så måste $9\geq 2$ via transitivitet.

Alltså är $A$ sant.

Vi antog $B$ och visade $A$, alltså har vi visat att $B\implies A$.

I vårt bevis har vi inte använt påstående $B$ för något annat värde än $x=3$.

På samma sätt har vi visat att $f_n$ konvergerar likformigt (påstående A) genom att endast använda att $f_n(x_n)\to 0$ för en enda specifik talföljd $\{x_n\}$, även fast vårt antagande (påstående B) var att $f_n(x_n)\to 0$ för alla möjliga talföljder $\{x_n\}$.

Jag tror att jag är med nu.

Gränsvärdet:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sup_{x\in[0,1]}\left|f_n\left(x\right)\right|$

har ett visst värde.

Genom att listigt konstruera vår följd $\{x_n\}$ som följden av alla $x_n$ sådana att $f_n$ antar sitt maximum på $[0,1]$ (vilket vi kan göra tack vare kontinuitet och att intervallet är slutet), kan vi bestämma gränsvärdet:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sup_{x\in[0,1]}\left|f_n\left(x\right)\right|=\lim_{n \to \infty} f_n\left(x_n\right)=0$

Det gav oss alltså ett sätt att beräkna gränsvärdet. Vi hade kunnat välja vilken annan följd som helst egentligen, men då hade det inte varit säkert att $f_n(x_n)$ vore supremet, och då hade följden inte hjälpt oss vidare, även om det ändå hade varit sant att $\lim_{n \to \infty} \sup_{x\in[0,1]}\left|f_n\left(x\right)\right|=0$.

Tillägg: 28 maj 2025 22:59

Är det rätt uppfattat?

naytte skrev:

Tillägg: 28 maj 2025 22:59

Är det rätt uppfattat?

Ja, exakt