17 svar
130 visningar
B.N. 309
Postad: 4 jul 2018

kärna och bild

Hej

jag har en uppgift som jag skulle behöva lite hjälp med:

Låt :1812 vara den homomorfism som uppfyller 1=8

a) Bestäm ker och im

b) Vilka element finns i var och en av sidoklassern i 18/ker

c)Illustrera den första isomorfisatsen genom att ange en isomorfism :18/ker im

Tydligen ska man få det till att ker=3 och im=8

Jag förstår inte riktigt hur man ska använda att 1=8 

Moffen 138
Postad: 4 jul 2018

Använd att det är en homomorfism! Vad betyder det att "vara en homomorfism"? Vilka egenskaper måste uppfyllas?

B.N. 309
Postad: 4 jul 2018

För en homomorfism gäller väl att h1h2=h1h2  och att om :GH så gäller det att 

1G=1Ha-1=a-1ak=ak

men jag vet inte riktigt hur jag ska använda detta till uppgiften jag har.

Prontera Online 36
Postad: 4 jul 2018 Redigerad: 4 jul 2018

Tänk på att 18\mathbb{Z}_{18} är cyklisk och att 11 är en generator till 18\mathbb{Z}_{18}. Kan du använda det tillsammans med egenskaperna för en grupphomomorfi för att luska ut var olika element skickas av avbildningen?

B.N. 309
Postad: 9 jul 2018

När jag skriver ner cayleytabellen för grupperna får jag

18157111317115711131755717111137717135111111115131771313111177517171311751 och 12157111157115511177711151111751 

så båda gruperna är då cykliska och vi ser att 1 är en generator till både 18 och 12

Kärnan är väl de element i gruppen 18 som mappas till identitetselementet i 12 och identitetselementet är väl 1? det jag inte förstår är just vad 1=8 ger för information.

Prontera Online 36
Postad: 9 jul 2018

Du vet att (1)=8\emptyset(1) = 8. Vad blir då t.ex. (12)=(2)\emptyset(1^2) = \emptyset(2) (tänk på egenskaper hos homomorfier)? Detta kan du fortsätta för resten av elementen då 11 är en generator till 18\mathbb{Z}_{18}

B.N. 309
Postad: 9 jul 2018

jag har problem med att förstå hur man ska göra här, vi fick informationen 1=8 men vi har ju ingen 8a i 12 och vi ska väl avbilda element från 18 till 12 ? 

Prontera Online 36
Postad: 9 jul 2018 Redigerad: 9 jul 2018

Jag ser nu efter att ha kollat på din multiplikationstabell noggrannare att du förväxlat vilka grupper 18\mathbb{Z}_{18} och 12\mathbb{Z}_{12} är. 18\mathbb{Z}_{18} och 12\mathbb{Z}_{12} är vanligtvis heltalen modulo 18 respektive 12 under addition.

Notation för multiplikativa grupper modulo nn brukar ha någon form av förtydligande för att särskiljas från additiva grupperna, några exempel finns på Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n#Notation

edit: formattering

B.N. 309
Postad: 10 jul 2018

okej jag får då att för gruppen Z12 under addition har vi elementen som är relativt prima till 12 är 0,1,5,7,11 och får då +01571100157111126805561004778026111104610 så det enda elementet som genererar gruppen är identitetselementet noll. 

och gör jag sedan samma sak med Z18 får jag

+015711131700157111317112681214055610121604778121402611111216046101313140268121717046101216

Prontera Online 36
Postad: 10 jul 2018 Redigerad: 10 jul 2018

Gruppen Z12Z_{12} innehåller alla tal från 0 till 11, och har gruppoperation addition modulo 12. På samma sätt har Z18Z_{18} alla tal från 0 till 17 med gruppoperation addition modulo 18. Det är bara när man vill ha gruppoperationen som multiplikation modulo n som man behöver begränsa sig till tal som är relativt prima n.

11 är en generator till båda dessa grupper då man kan få alla element i gruppen genom att addera 1 till sig själv tillräckligt många gånger.

Det du vill göra nu är inte att beräkna Cayleytabeller för grupperna var för sig, utan du vill ju undersöka hur \emptyset avbildar elementen från den ena gruppen till den andra, eller hur? Så börja med att du vet att (1)=8\emptyset(1) = 8. Använder du dig av att (ak)=(a)k\emptyset(a^k) = \emptyset(a)^k, då \emptyset är en homomorfi, så kan du beräkna vad (12)=(2)\emptyset(1^2) = \emptyset(2) avbildas på för element i 12\mathbb{Z}_{12}. Detta kan du fortsätta för alla element i 18\mathbb{Z}_{18} och då kommer du veta hur \emptyset avbildar alla element i 18\mathbb{Z}_{18}.

B.N. 309
Postad: 10 jul 2018

om vi ska använda oss av att ak=ak och vi har informationen 1=8 så vet vi väl att ettan i Z18 mappas mot 8an i Z12 och har vi alltså då 11=81 och i nästa steg ska ha exponenten 2 istället för 1? och adderar 1+1=2 som mappas mot 12 ? 

Moffen 138
Postad: 10 jul 2018 Redigerad: 10 jul 2018

Ursäkta om jag har fel (ignorera i så fall detta), men borde det inte vara så att (eftersom det är en homomorfism): ϕ(2)=ϕ(1+1)=ϕ(1)+ϕ(1)=8+8=4 ? Sedan fortsätter man så tills man kommit fram till 0 (dvs ϕ(3))?

 

EDIT: Läste fel, trodde värdemängden låg i 18

Prontera Online 36
Postad: 10 jul 2018

Ja precis, det ser rätt ut. Sen när man har räknat ut var alla element avbildas så kan man avläsa direkt vad kärnan och bilden blir.

B.N. 309
Postad: 10 jul 2018

då får jag 2=1+1=1+1=8+8124 så 2 mappas till 4 men när jag sedan gör samma sak med 4 får jag återigen 8 så både 1 och 4 mappas till 8 i Z12

Moffen 138
Postad: 10 jul 2018

Ja, men nu har du ju inte beräknat ϕ(3)=ϕ(1+1+1)=... Varför gick du direkt på ϕ(4)?

B.N. 309
Postad: 10 jul 2018 Redigerad: 10 jul 2018

 3 fick jag att den mappades till 0 i Z12, och eftersom 0 är identitetselementet i Z12 får vi då att ker=3 ?

Prontera Online 36
Postad: 11 jul 2018

Jag skulle nog räkna ut var alla element i Z18Z_{18} (borde inte vara alltför jobbigt) mappas om du känner dig osäker. Efter det kan du direkt avläsa kärnan och bilden.

Notera också att (3)(3) inte är samma sak som 33.

B.N. 309
Postad: 4 dagar sedan

jag ser att mönstret 8,4,0 upprepar sig 1 mapps mot 8 sedan 2 mot 4 och 3 mot 0 och sedan upprepar det sig. Så får vi alltså ker=3 eftersom vi bara får tre olika element i Z12 som elementen i domänen mappas till?

Svara Avbryt
Close